Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường khối 11 THPT môn Toán

Trường thpt cẩm thuỷ i	 Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trường
	 Khối 11 THPT - Năm học 2007-2008
 Môn thi: Toán
 (Thời gian làm bài: 180 phút )
Bài 1(5 điểm)
 a) Giải phương trình: 
	b) Cho . Chứng minh rằng trong hai phương trình sau phải có ít nhất một phương trình có nghiệm:
Bài 2 ( 5 điểm)
a) Dãy số được xác định như sau:
Chứng minh rằng: .
	b) Tìm giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát:
 n căn
Bài 3 (5 điểm)
a) Trên mặt phẳng cho đa giác lồi 10 cạnh Xét các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác . Hỏi trong số các tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó đều không phải là ba cạnh của đa giác ?
b) Tìm các giá trị nguyên dương của thoả mãn
Bài 4 (5 điểm)
 Cho hình lập phương . 
Hãy tìm điểm trên đường chéo của mặt và điểm trên đường chéo của mặt bên sao cho 
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của . Chứng minh rằng 
Họ, tên thí sinh: . SBD: .
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trường thpt cẩm thuỷ i	Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trường
	Khối 11 THPT - Năm học 2007-2008
	Đề thi chính thức	
đáp án – hướng dẫn chấm môn Toán
(Thời gian làm bài: 180 phút )
Câu
Nội dung
điểm
Câu 1
5 điểm
a)
Giải phương trình: (1)
2 điểm
+) Ta có (1) (2)
+) Đặt , điều kiện 
0.5
+) Khi đó (2) trở thành: 
0.5
+) Giải tìm nghiệm x
0.5
+) Kết luận: Nghiệm của phương trình đã cho là:
0.5
b)
3 điểm
*) Có hai trường hợp xảy ra: 
+) Trường hợp 1: thì (1) có nghiệm
0.5
+) Trường hợp 2: 
 Ta có 
0.5
 Nhận xét: (2) có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm 
0.5
 Ta có: *) 
 *) (luôn đúng, do có nên 
 Do đó (3) có nghiệm khác 0
1
+) Kết luận:
0.5
Câu 2
5 điểm
a)
2 điểm
Ta chọn số sao cho 
Khi đó ta có:
0.25
1
Suy ra: 
0.5
+) Kết luận:
0.25
b)
Ta có: 
 n căn
0.75
 (Chứng minh bằng quy nạp)
0.5
Ta có 
1
0.75
Câu 3
5 điểm
a)
2 điểm
+) Số tam giác phân biệt có 3 đỉnh là 3 trong các đỉnh của đa giác T là 
0.5
+) ứng với mỗi cạnh của đa giác T sẽ có 8 cách chọn các đỉnh còn lại để tạo thành một tam giác chứa cạnh này. Suy ra số tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác T là 80 (tam giác).
0.5
+) Trong 80 tam giác trên có 10 tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác T được lặp lại hai lần.
0.5
+) Kết luận: Số các tam giác cần tìm là (120 – 80) + 10 = 50 (tam giác)
0.5
b)
Tìm các giá trị nguyên dương của thoả mãn
3 điểm
+) Ta có 
1
+) Do đó 
+) Kết luận:
0.75
0.75
0.5
Câu 4
5 điểm
a)
3 điểm
A
B
D
A1
B1
C
C1
D1
M
N
I
J
Đặt . Ta có 
Vì 
1
Mặt khác ta có: 
0.75
Từ (1) và (2) ta suy ra 
0.75
Vậy với thì 
0.5
b)
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của . Chứng minh rằng 
2 điểm
+) 
0.5
+) 
0.5
+) 
0.75
+) Vậy (đpcm).
0.25