Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường lớp 10 năm học 2007-2008 môn : toán thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề

 Trường THPT cẩm thuỷ I đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường lớp 10 
 năm học 2007-2008 Môn : Toán 
 Thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề 
Bài 1: Cho các phương trình: x2-x+m=0 (1) và x2+2x-3m=0 (2).
 Tìm m để (1) và (2) tương đương.
Bài 2: Giải các phương trình sau:
 a) 
 b) . 
 c) 
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x(x-1)(x-2)(x-3) = y2 
Bài4: Giải hệ phương trình: 
Bài 5: Tìm bR để: có nghiệm với .
Bài 6: Tìm a R để hệ phương trình: có nghiệm duy nhất?
Bài 7: Giải cácbất phương trình sau: 
 a) 
 b) với mR.
Bài 8: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I nằm trên đường thẳng (d): x-1= 0
 và tiếp xúc với hai đường thẳng (d1): x-y+1= 0; (d2): x-y-1= 0.
Bài 9: ChoABC, gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của ABC.
 Chứng minh rằng: O, G, H thẳng hàng. 
Bài 10: Cho ABC với a, b, c là các cạnh tương ứng với các góc A, B, C và S là diện tích .
 Chứng minh rằng : (-a + b + c)(a – b + c)(a + b – c)
Bài 11: Cho ABC với: ABC ( A, B, C là số đo ba góc trong của tam giác ABC ).
 chứng minh rằng: 
 (Trong đó: ha, hb, hc là độ dài các đường cao của ABC tương ứng hạ từ các đỉnh: A,B,C). 
 	Hết
 Họ tên thí sinh . Số báo danh.
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu , giám thị không giải thích gì thêm.
 Đáp án toán 10
 Kỳ thi học sinh giỏi Năm học 2007-2008. 
 Bài 1: (2 điểm) Ta có: =1-4m; =1+3m.Thì (1) và (2) tương đương khi:
 *) (0,5 đ)
 *) mọi nghiệm x0 của (1) cũng là nghiệm của (2).
 Từ (0,5 đ)
 *) m=0 
 (1) x2-x=0 với nghiệm là:0;1 không tương đương với (2) x2+2x=0 nghiệm là;0;-2. (0,5 đ)
 *) m=-15/4 
 (1) x2-x-=0 không tương đương với (2) x2+2x+=0 VN.
 Vậy Khi: (0,5 đ)
 Bài 2 (4,5 điểm) :
 a) (1,5 điểm) 
 *) x=0 không là nghiệm (0,25 đ)
 *) x - Đặt y=x+ ĐK (0,5 đ)
 Ta được VN (1,25 đ)
 b) (1,5 điểm) Đặt a= b= ĐK bĐược (0,75 đ)
 *) a=0;b=1 giảI được x=2 
 *) a=1;b=0 giảI được x=1 
 *) a=-2;b=3 giảI được x=10 
 Vậy nghiệm của phương trình là: x=1;x=2. (0,75 đ)
 c) (1,5 điểm) 
 *) Dễ thấy x=2007;x=2008 là nghiệm (0,25 đ)
 *) Với x<2007 
 (1)(2007-x)2008+(2008-x)2007=1 VN 
 vì với x1 nên (2008-x)2007>1 & (2007-x)2008>0. (0,5 đ)
 *) Với x>2008 
 (1)(x-2007)2008+(x-2008)2007=1 VN 
 vì với x>2008 thì x-2007>1 nên (x-2007)2008>1 & (x-2008)2007>0.(0,25 đ)
 *) Với 2007<x<2008 
 (1)(x-2007)2008+(2008-x)2007=1 VN 
 vì với 2007<x<2008 thì: (x-2007)2008+(2008-x)2007<(x-2007)+(2008-x)=1.
 Vậy nghiệm của phương trình là: x=2007;x=2008. (0,5 đ)
 Bài 3: (1,5 điểm) Ta có y2=(x2-3x)(x2-3x+2)= (x2-3x+1-1)(x2-3x+1+1)=(x2-3x+1)2-1 
 (x2-3x+1-y)(x2-3x+1+y)=1 (0,5 đ)
 *) có nghiệm (1;0) & (2;0). (0,5 đ)
 *) có nghiệm (0;0) & (3;0). (0,5 đ)
Bài 4: (1,5 điểm) 
 Từ (1) có: (*) khi đó trừ (1) cho (2) được:
 x2(1-x2005)+y2(1-y2006)=0 (1,0 đ)
 Vậy nghiệm của hệ là: (0;1);(0;-1);(1;0). (0,5 đ)
Bài 5: (1,5 điểm) D=a2-4
 *) a hệ có nghiệm (0,5 đ)
 *) a=2 hệ có nghiệm ;b=3. (0,5 đ)
 *) a=-2 hệ có nghiệm . (0,5 đ)
Bài 6: (1,5 điểm) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
 đường thẳng (d):x+y=a+1 là tiếp tuyến của đường tròn (C):x2+y2=2a2-2 (0,5 đ)
 với (1,0 đ)
 Bài 7: (2,5 điểm) 
 a) (1,5 điểm) ĐK: 
 +) dễ thấy x=1 là 1 nghiệm (0,5 đ)
 +) x<1 (1) 
 Luôn đúng 
 vì: & (0,5 đ)
 +) x (1)
 VN 
 vì: & (0,5 đ)
 Vậy nghiệm của bất phương trình là: 
 b) (1,0 điểm) 
 *) Tập nghiệm là T=R- (0,5 đ)
 *) m>0 Tập nghiệm là T= (0,5 đ)
Bài 8: (1,0 điểm) Vì I nằm trên (d) nên I(1;b) 
 Theo bài ra ta có . (0,75 đ)
 Hay (C): (x-1)2+(y-1)2=1/2. (0,25 đ)
Bài 9: (1,5 điểm) Gọi G là trọng tâm,H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
 Gọi giao của BO với đường tròn (O) là I.
 Chứng minh AICH là hình bình hành, (0,5 đ)
 gọi M là trung điểm của BC chứng minh: (0,5 đ)
 Chứng minh .
 Và kết luận G,H,O thẳng hàng (0,5 đ)
Bài 10: (1,5 điểm) Đặt x=-a+b+c,y=a-b+c,z=a+b-c 
 (0,5 đ)
 Khi đó (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)abc
 áp dụng BĐT Cô si để chứng minh (0,75 đ)
 Dấu bằng xẩy ra khi a=b=c hay tam giác ABC đều. (0,25 đ)
Bài 11: (1,5 điểm) Thay 
 Đưa bài toán về: (0,5 đ)
 b2c+c2a+a2ba2c+b2a+c2b
 (0,75 đ)
 Dấu bằng xẩy ra khi a=b=c hay tam giác ABC đều. (0,25 đ)