Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn: Toán - khối 11

TRƯỜNG THPT KON TUM
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
THI CHỌN HS GIỎI CẤP TRƯỜNG NH 2012-2013
Môn: TOÁN - Lớp 11
Ngày thi: 31/01/2013
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI
Câu 1. ( 3.0 điểm)
Giải hệ phương trình sau .
Câu 2. ( 5.0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số thực , phương trình: luôn có ba nghiệm lập thành một cấp số nhân.
Trong mặt phẳng xét phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm . Chứng minh là phép đồng dạng.
Câu 3. ( 3.0 điểm) 
	Đặt . Xét dãy số sao cho 
	. Tính .
Câu 4. ( 3.0 điểm)
Tìm tất cả các đa thức có hệ số thực sao cho: và 
	 với mọi .
Câu 5. ( 3.0 điểm)	
Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Câu 6. ( 3.0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi N, P lần lượt là trung điểm của SB và AD. Gọi I là trung điểm của NP và G là giao điểm của SI với mp(ABCD). Tính tỷ số .
----------- HẾT -----------ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
Ta có: 
0.5
0.5
0.5
0.5
Thay vào PT ta được .
0.5
Vậy hệ có hai nghiệm .
0.5
2
1
PT đã cho tương đương 
0.5
0.5
PT (1) có và PT (1) có hai nghiệm thỏa mãn .
0.5
Suy ra lập thành cấp số nhân.
Vậy PT ban đầu luôn có ba nghiệm lập thành cấp số nhân.
0.5
2
Lấy thì .
0.5
Ta có: 
1.0
Từ đó suy ra với M, N tùy ý và M’, N’ lần lượt là ảnh của chúng qua ta có .
1.0
Vậy là phép đồng dạng với tỉ số đồng dạng là 2.
0.5
3
Ta có 
0.5
0.5
Do đó 
0.5
Suy ra .
0.5
Suy ra . 
0.5
Vậy .
0.5
4
Cho ta được , cho ta được 
và .
0.5
Giả sử có nghiệm khác 0 và khác .
Ta có suy ra cũng là nghiệm. Điều này dẫn đến có vô số nghiệm thực, vô lí. Vậy chỉ có ba nghiệm là 0 và .
0.5
Gọi n là bậc của . Khi đó có bậc là 2n và có bậc là n + 4. Suy ra .
0.5
Như thế đa thức có một trong các dạng sau:
 hoặc hoặc .
0.5
Thay ta có suy ra hoặc hoặc 
Hay hoặc hoặc 
0.5
Thử lại ta thấy thỏa mãn.
Vậy 
0.5
5
Ta có: 
0.5
0.5
0.5
Tương tự	,	
0.5
Cộng vế theo vế ta được 
0.5
Vậy GTNN của khi .
0.5
6
0.5
Qua N dựng đường thẳng song song với SG cắt BP tại H
0.5
Suy ra G là trung điểm PH
0.5
Và H là trung điểm BG
0.5
Suy ra 
0.5
Suy ra .
0.5