Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn : toán - Lớp 10 thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

SỞ GD - ĐT QUẢNG NINH
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
®Ò thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng
M«n : To¸n - líp 10
Thêi gian: 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Bài 1. (4 điểm)
1. Giải phương trình: 
2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho 
Bài 2. (2,5 điểm) Với giá trị nào của m thì bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
6x2 + 4x + 5 > |2x2 + 4mx + 1| (1)
Bài 3. (3 điểm) Cho hệ phương trình: 
1. Giải hệ phương trình với m = 1.
2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 4. (3 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R, có G là trọng tâm. Chứng minh rằng: 
1. .
2. 
Bài 5 (4,5 điểm). Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; -5), B(-4; 5) và đường thẳng d: x - 2y + 3 = 0. 
1. Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ B đến D là lớn nhất.
2. Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB là nhỏ nhất.
Bài 6. (3 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 2.
Chứng minh rằng: 
----------------- Hết -----------------ĐÁP ÁN
Đáp án
Thang điểm
Bài 1. 
4 điểm
1. §Æt a = b = §K b
PT Û
*) a = 0; b = 1 gi¶i ®­îc x = 2 
*) a = 1 ; b = 0 gi¶i ®­îc x = 1 
*) a = -2; b=3 gi¶i ®­îc x = 10 
VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ: x = 1; x = 2, x = 10.
0, 25 đ
0, 75 đ
0, 75 đ
0,25 đ
2. PT đặt 
PT trở thành : (1)
 PT ban đầu có nghiệm 
 (1) có nghiệm 
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,75 đ
Bài 2. 
2,5 điểm
Vì 6x2 + 4x + 5 > 0 với mọi x nên 
(1) Û - (6x2 + 4x + 5 ) < 2x2 + 4mx + 1 < 6x2 + 4x + 5 
Û (2)
Vây, (1) nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi cả hai bất phương trình trong hệ (2) đồng thời nghiệm đúng với mọi x. Điều này tương đương với 
1,0 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 3.
3 điểm
1. Với m = 1:
(1) Û . Đặt t = |x| (t ³ 0) ta được phương trình: 
2t2 + 3t - 5 = 0 Û .
Với t = 1 Þ |x| = 1 Û x = ± 1. 
Vậy hệ có 2 nghiệm (1; 2) và (-1; 2).
2. Hệ có nghiệm duy nhất Û PT (1) có nghiệm duy nhất
Û PT 2t2 + 3t + 3m - 8 = 0 (2) có nghiệm thoả mãn: 
Û 
0,5 đ
0,75 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
Bài 4
3 điểm
1. Có : 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
2. Có: 
Do OA = OB = OC = R và nên:
 hay 
Þ 
0,5đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 5. 
4,5 điểm
1. Gọi H là hình chiếu của B trên D, ta có: BH £ AB. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H º A. Khi đó D là đường thẳng qua A và vuông góc với AB.
PTTQ: 3x - 5y - 31 = 0.
2. Kiểm tra A và B cùng phía với d.
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d. 
Có: MA + MB = MA’ + MB ³ A’B. 
Đẳng thức xảy ra Û A’, M, B thẳng hàng. Suy ra M là giao điểm của đường thẳng A’B với d.
Gọi d’ là đường thẳng qua A và vuông góc với d. d’ có PTTQ: 
2x + y + 1 = 0.
Gọi H là giao điểm của d’ và d. Tọa độ H = (-1; 1).
H là trung điểm của AA’ nên A’ có toạ độ A’(-4; 7).
Đường thẳng A’B có VTCP nên có VTPT 
PTTQ đường thẳng A’B: x + 4 = 0.
Toạ độ giao điểm M của A’B và d là nghiệm của hệ phương trình: 
 Þ M(-11; -4)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25đ
0,25đ
0,25 đ
0,25đ
0,5 đ
Bài 6
3 điểm
Bài 6. (3 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 2.
Chứng minh rằng: 
Có: .
Tương tự: 
; 
Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được