Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường năm học 2007 – 2008. Môn Toán Lớp 10- Chương trình cơ bản. (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề)

Sở GD&ĐT Nghệ An.
Trường THPT Diễn Châu 2.
***====*****====***====
Đề thi chọn HSG cấp trường năm học 2007 – 2008.
Môn Toán Lớp 10- Chương trình cơ bản.
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề)
Câu 1. a,(4,25 điểm) Giải phương trình: .
	 b, (2,5 điểm) Tìm a để phương trình: 
, có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Câu 2(5,0 điểm) Cho hệ phương trình 
 a, Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệmduy nhất.
 b, Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất, 
 hãy tìm m để y . 
Câu 3. a, (2,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(2; 1), B(3; -1), C(-2; 3). 
 Tìm điểm để tứ giác ABEC là hình thang có hai cạnh đáy AB và CE.
 b, (3,5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình 
 và hai điểm A(4; 6), B(0; 4).Tìm điểm M trên đường thẳng 
 (d) sao cho độ dài vectơ có độ dài nhỏ nhất.Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 4.(2,25 điểm) Cho a, b, c là ba số thực khác 0. 
 Chứng minh rằng: . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Hết.
Đáp án và biểu điểm đề thi chọn HSG môn Toán 10- chương trình cơ bản.(gồm có 02 trang)
Câu 1
Tổng điểm
a
Đk: .(0,25đ)
Pt đã cho tương đương với .(0,25đ) 
Đặt (0,25đ). Ta có phương trình: (1).(0,25đ)
Pt (1) (thỏa mãn đk ).(0,5đ)
Với ta có phương trình: (0,5đ)
.(0,5đ)
Với ta có phương trình: (0,5đ)
.(0,5đ)
Đối chiếu với điều kiện phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là: (0,25đ) và .(0,25đ).
4.25đ
b
Đk: .(0,5đ)
Pt đã cho tương đương với .(0,5đ)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt .
Vậy với -1< a < 1 thì phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.(0,5đ)
2.5đ
Câu 2
a
Th1: Nếu m = 0, thay vào hệ ta được . (0,5đ)
Vậy khi m = 0, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất . (0,25đ)
Th2: Nếu , hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (0,5đ) . (0,5đ)
Vậy . (0,25đ)
2.0 đ
b
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất . (0,5đ)
Từ (1) ta có: , (0,25đ) 
thay vào (2) ta có, 
(0,25đ) (vì ) (0,5đ)
(0,5đ)
. (0,75đ)
Vậy: . (0,25đ)
3.0đ
Câu 3
a
 nên E có tọa độ (0; y). (0,5đ)
Tứ giác ABEC là hình thang đáy AB và CE và cùng phương. (0,5đ) 
Ta có: (1; -2), (-2; 3 –y). (0,5đ) 
 và cùng phương (0,5đ)
. (0,25đ). Vậy E(0; -1). (0,25đ)
2,5đ
b
 (0,25đ)
Vậy M((0,25đ)
Ta có: (0,25đ) , 
 (0,25đ)
.(0,25đ)
 (0,25đ) 
= (0,25đ)
(0,5đ). Dấu “=” xảy ra khi , 
khi đó (0,5đ). Vậy tại M(.(0,5đ)
3.5đ
Câu 4
Ta có: (0,5đ)
Do khác 0 nên là các số dương. áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có: , (0,5đ) , (0,5đ) 
 . (0,5đ) Vậy .
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . (0,25đ)
2.25đ
Tổng
20.0đ
Ghi chú: Thí sinh làm theo các phương pháp đúng chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa.
	Ngô Trí Thụ.