Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường năm học 2012-2013 Trường THPT Mạc Đĩnh Chi môn thi: Toán lớp 10

 Sở GD & ĐT Hải phòng
Trường THPT Mạc Đĩnh Chi
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC: 2012-2013
MÔN THI: TOÁN LỚP 10
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (3đ)
Cho hai parabol y = -x2 + 2x + 3 (1)
 y = x2 – 4x + 3 (2)
1. Lập bảng biến thiên và vẽ hai parabol lên cùng một hệ trục toạ độ.
2. Tìm m để đường thẳng y = m cắt parabol (1) tại 2 điểm A,B và cắt parabol (2) tại 2 điểm C,D sao cho AB = CD.
Bài 2: (3đ)
Giải hệ phương trình : 
Giải phương trình : 
Bài 3: (2đ)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có đáy lớn CD, đường thẳng AD có phương trình 3x - y = 0 , đường thẳng BD có phương trình x - 2y = 0; góc tạo bởi hai đường thẳng BC và AB bằng 450 . Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 24 và điểm B có hoành độ dương.
Bài 4: (1đ)
Cho tam giác ABC có diện tích S thoả mãn: S =( c + a - b )(b + c - a ) .
Tính tanC.
Bài 5 : (1đ)
Cho a, b, c là các số dương thoả mãn . Chứng minh rằng
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HSG TOÁN 10
Bài
Nội dung cho điểm
Điểm
Bài1
(3đ)
1.Lập được 2 bảng biến thiên
vẽ đúng 2đồ thị
2. đường thẳng y = m cắt mỗi đồ thị tại hai điểm phân biệt khi
 -5<m<4
A,B có hoành độ lần lượt là là 2 nghiệm của pt:
-x2 +2x + 3 - m = 0
Khi đó AB = 
C,D có hoành độ lần lượt là là 2 nghiệm của pt:
Khi đó CD = 
AB = CD (tmđk)
1đ
1đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 2
(3đ)
1. hệ phương trình 
Đặt . Hệ pt có dạng 
Giải hệ được hoặc 
Trở lại ẩn cũ được 
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
2. đk 
bình phương 2 vế được pt 
Đặt t = ( t 0) . pt có dạng 4t2 + 16t - x2 - 8x = 0 
Tìm được 
 ( loại )
 thì giải ra ta được 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài3
(2đ)
Toạ độ điểm D là nghiệm hpt 
Vectơ pháp tuyến của 2 đường thẳng AD, BD lần lượt là 
.
 vuông cân tại A
 AD =AB và 
Vì góc giữa 2 đường thẳng BC và AB bằng 450 = 450
BCD vuông cân tại B DC = 2AB.
 AB = 4 BD = 4
Gọi B ( 2b ; b) (b > 0 )
 B( )
Vì đường thẳng BC vuông góc với đường thẳng BD nên đường thẳng BC có vectơ pháp tuyến là 
pt của đường thẳng BC là : 2x + y - 4 = 0
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài4
(1đ)
S=
 (a+b+c)(a+b-c) = 16(c+a-b)(b+c-a)
Khai triển và thay c2 = a2 + b2 - 2abcosC tính được cosC = 
Sử dụng công thức tính được tanC = ( vì tanC cùng dấu cosC )
0,25đ
0,5đ
0,25đ
Bài 5
(1đ)
theo gt 
tương tự 
Khi đó 
Áp dụng BĐT Côsi ta có 
đpcm
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
0,25đ
0,25đ
 0,5đ
Học sinh trình bày cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.