Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Cấp Trường THCS Đa Lộc Toán 9

TRƯỜNG THCS ĐA LỘC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC: 2012 – 2013. Môn thi: TOÁN 9
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (5.0 điểm ). Rút gọn các biểu thức sau
 	A = 
 B = 
 C = (1+ tan2α)(1- sin2α) + (1+cotan2α)(1-cos2α)
Bài 2: (4.0 điểm). Giải các phương trình
a. 	
Bài 3: (4.0 điểm)
a. Cho các số nguyên dương a; b; c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn: (a + b)c = ab. 
 Xét tổng M = a + b có phải là số chính phương không? Vì sao?
b. Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
Bài 4: (5.0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của HC; N là trung điểm của AC. AM cắt HN tại G. Đường thẳng qua M vuông góc với HC và đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng:
Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC. 
Từ đó hãy suy ra SAEF = SABC. 2
BH.KM = BA.KN
Bài 5: (1 điểm) Điểm M cố định thuộc đoạn thẳng AB cho trước.Vẽ về cùng một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Qua M có hai đường thẳng Mt và Mz thay đổi luôn vuông góc với nhau tại M và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D và tạo góc . Xác định số đo để tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất. 
Hết./.
Họ và tên thí sinh....SBD.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI 9. MÔN: TOÁN
Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang
Bài
Ý
	Nội dung cần đạt	
Điểm
1.
5.0
a
1,5
0.5x3
b
1,5
= = = 0. Suy ra A = 0
1
0.5
c.
2
== ==2
0.4x5
2.
4.0 
 2a.
2.0
ĐK: 
 ; Học sinh đối chiếu ĐK và kết luận nghiệm
0.5x4
2b.
2.0
ĐKXĐ: 
và
0.5
0.5
0.5
0.5
3.
4.0
3a.
2.0
Gọi UCLN của a-c và b-c là d 
mà a; b; c là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên d = 1
Do đó a-c và b-c là hai số chính phương. Đặt a-c = p2; b-c = q2
( p; q là các số nguyên)
c2 = p2q2c = pq a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 là số chính phương
0,5
0.5
1
3b.
2.0
. Ta có 
Mà 
Nên . Dấu bằng khi x = y =1
Mặt khác :. Nên. Dấu bằng xảy ra khi
x = y =1 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 21 khi và chỉ khi x = y =1
0,5
0,5
0.5
0.5
4.
5.0
0.5
4a 
2.0 
 vuông tại E nên ; vuông tại F nên 
Tư đó chứng minh được tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (c.g.c)
Vì tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC nên 
0.5
0.5
0.5
0.5
4b.
1.5
và có ; (Góc có cạnh tương ứng song song)
Suy ra đồng dạng với ( g.g); 
1
0.5
4c.
1.5
 đồng dạng với nên ( Vì MN là đường TB của tam giác AHC); Lại có: ; ( G là trọng tâm của tam giácAHC)
. Mặt khác ( so le trong)
đồng dạng với tam giác (c.g.c)
0.5
1
5
1.0
Ta có : SMCD = MC.MD ; Đặt MA = a , MB = b, Ta có ;
 MC = , MD = ; SMCD = 
Do a,b là hằng số nên SMCD nhỏ nhất Û 2sina.cosa lớn nhất .
Theo bất đẳng thức 	2xy £ x2 +y2 	ta có :
2sina.cosa £ sin2a +cos2a = 1 	nên	 SMCD ≥ ab
A
B
M
a
b
C
x
y
D
a(
a
SMCD = ab Û sina = cosa Û sina = sin(900-a) Û a = 900-a Û a = 450 
Û DAMC và DBMD vuông cân.
Vậy min SMCD = ab .
Khi a = 450 ; C,D được xác định trên tia Ax ; By sao cho AC = AM , BD = BM .
1
0.5