Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường THPT Cẩm Xuyên năm học 2013-2014 môn Toán lớp 11

TRƯỜNG THPT CẨM XUYÊN
TỔ: TOÁN TIN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi:8/01/2014
Câu1.(3 điểm). 
 Giải phương trình: 
Câu 2.(2 điểm). 
Chứng minh rằng: với mọi a thỏa mãn biểu thức M có nghĩa.
Câu 3.(2 điểm) 
 Cho tam giác ABC có các góc A,B,C lập thành một cấp số cộng với . 
 Biết: , tính các góc của tam giác ABC.	
Câu 4(2.5 điểm). Cho cấp số cộng và cấp số nhân thõa mãn: . 
Tìm .
Câu 5(2 điểm). Có hai hộp đựng bi, hộp A đựng 7 viên bi xanh, 7 viên bi đỏ; hộp B đựng 5 viên bi xanh và 9 viên bi đỏ. Bốc ngẫu nhiên 3 viên bi trong hộp A bỏ vào hộp B, sau đó bốc ngẫu nhiên 3 viên bi trong hộp B bỏ lại vào hộp A. Tính xác suất để sau khi đổi bi xong số bi xanh trong hai hộp bằng nhau.
Câu 6.(2.5 điểm).
Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển: 
Câu 7.(4 điểm). Cho hình hộp Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và B. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng 
a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P).
b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất.
 Câu 8.(2 điểm). Cho hình chóp S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD; I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC; M là trung điểm của CD, K là trung điểm của SM. Hãy trình bày cách tìm giao điểm của SO và mặt phẳng (IJK).
-----------------------------------HẾT--------------------------------------
Họ và tên thí sinh:...............................................................................
Số báo danh:......................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT
NĂM HỌC 2012-2013
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 11
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(3đ)
Phương trình đã cho tương đương:
1.5đ
1,5đ
Câu 2
(2đ)
Áp dụng bđt: với mọi x, y, z dương.
0,5
Vì a làm biểu thức T có nghĩa nên: 
 Suy ra: 
1,5
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 
Dấu bằng không đồng thời xảy ra.
Vậy: M >2
0,5
Câu 3
(2đ)
Ta có: Từ gt A, B, C là CSC suy ra 
0,5
 , 
0,5
0,5
0,5
Câu 4
(2đ)
Gọi có công sai là d; có công bội là q
Ta có: 
1
0,5
Vậy: 
0,5
Câu 5
(2đ)
Không gian mẫu: 
1
Trường hợp 1: Lần thứ nhất lấy được cả 3 viên bi xanh, sau đó trả lại phải bốc 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ, số cách bốc là: 
Trường hợp 2: Lần thứ nhất lấy được cả 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ, sau đó trả lại phải bốc 1 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ, số cách bốc là: 
Trường hợp 3: Lần thứ nhất lấy được cả 1 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ, sau đó trả lại 3 viên bi đỏ, số cách bốc là: 
Vậy số cách bốc thõa mãn yêu cầu bài toán là:
++ 
0.5
xác suất để sau khi đổi bi xong số bi xanh trong hai hộp bằng nhau là: 
0,5
Câu 6
(2.5đ)
0,5
 có số hạng chứa tương ứng với k=6, hệ số của số hạng đó là: 
0,5
có số hạng chứa ứng với i = 5, hệ số của số hạng đó là: 
0,5
Vậy hệ số của số hạng chứa trong khai triển là: 
0,5
0,5
Câu 7a
(2đ)
1,0
Trong mp(ABCD), qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC lần lượt tại E, N. 
Trong mp(BDD’B’), qua E vẽ đường thẳng song song với D’O (O=ACÇBD) cắt B’D’ tại F.
0.5
Trong mp(A’B’C’D’), qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt A’D’, D’C’ lần lượt tại R, Q. 
Trong mp(AA’D’D), qua R vẽ đường thẳng song song với AD’ cắt AA’ tại S. 
Trong mp(CC’D’D), qua Q vẽ đường thẳng song song với CD’ cắt CC’ tại P. 
0,5
Thiết diện là lục giác MNPQRS
0,5
Câu 7
(2đ)
Do các mặt đối diên của hình hộp song song nên các cạnh đối của lục giác thiết diên MNPQRS song song và 3 cặp cạnh đó lần lượt song song với các cạnh tam giác ACD’.
Þ Các tam giác JKI, ACD’, RQI, JMS, NKP đồng dạng
0.5
Þ Þ MJ=NK và PK=QI 
Þ Các tam giác RQI, JMS, NKP bằng nhau (gọi diện tích của chúng là S1 và gọi diện tích các tam giác JKI, ACD’ lần lượt là S2, S)
Đặt ta có điều kiện và có:
 Þ S1 = k2S
0,5
 Þ S2 =( k2 + 2k +1)S
Þ Diện tích thiết diện: 
 (dấu bằng xảy ra Û )
0.5
S lớn nhất Û Û M là trung điểm của AB 
Câu 8 (2đ)
Khó vẽ hình vẽ bằng tay!!@@
Lưu ý: Mọi cách giải khác mà đúng đều cho điểm tương ứng
---------------------HẾT---------------------
Câu 2) 
Số cách bốc ngẫu nhiên 3 viên bi trong hộp thứ nhất bổ vào hộp thứ hai sau đó bốc 3 viên bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ nhất là: 
Trường hợp 1: Lần thứ nhất lấy được cả 3 viên bi xanh, sau đó trả lại phải bốc 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ, số cách bốc là: 
Trường hợp 2: Lần thứ nhất lấy được cả 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ, sau đó trả lại phải bốc 1 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ, số cách bốc là: 
Trường hợp 3: Lần thứ nhất lấy được cả 1 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ, sau đó trả lại 3 viên bi đỏ, số cách bốc là: 
Vậy số cách bốc thõa mãn yêu cầu bài toán là:
++
Xác suất bốc được như yêu cầu là: 
Trong mp(ABCD), qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC lần lượt tại E, N. 
Trong mp(BDD’B’), qua E vẽ đường thẳng song song với D’O (O=ACÇBD) cắt B’D’ tại F.
Trong mp(A’B’C’D’), qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt A’D’, D’C’ lần lượt tại R, Q. 
Trong mp(AA’D’D), qua R vẽ đường thẳng song song với AD’ cắt AA’ tại S. 
Trong mp(CC’D’D), qua Q vẽ đường thẳng song song với CD’ cắt CC’ tại P. 
Thiết diện là lục giác MNPQRS
Do các mặt đối diên của hình hộp song song nên các cạnh đối của lục giác thiết diên MNPQRS song song và 3 cặp cạnh đó lần lượt song song với các cạnh tam giác ACD’.
Þ Các tam giác JKI, ACD’, RQI, JMS, NKP đồng dạng
Þ Þ MJ=NK và PK=QI 
Þ Các tam giác RQI, JMS, NKP bằng nhau (gọi diện tích của chúng là S1 và gọi diện tích các tam giác JKI, ACD’ lần lượt là S2, S)
Đặt ta có điều kiện và có:
 Þ S1 = k2S
 Þ S2 =( k2 + 2k +1)S
Þ Diện tích thiết diện: 
 (dấu bằng xảy ra Û )
S lớn nhất Û Û M là trung điểm của AB 
Lấy I = AMÇB'D' và O = ACÇBD, 
ta có: S, O, I là các điểm chung của 2 mặt phẳng (SAC) và (SBD) 
Þ S, O, I thẳng hàng.
Và I là trọng tâm các mặt chéo SAC
Þ 
Vẽ BP // B'I và DN // D'I Þ . Đặt 
Þ Þ (*)
Suy ra: 
Từ (*): Û Û Û 
 Û Û Û