Đề thi chọn học sinh giỏi huyện lớp 9 năm học 2008 - 2009 môn: toán thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Phòng Giáo dục và Đào tạo Tứ Kỳ
Đề thi chọn học sinh giỏi huyện lớp 9
năm học 2008 - 2009
Môn: Toán
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 08/01/2009
(Đề thi gồm có 01 trang)
Câu I: (3điểm)
1) Giải phương trình: 
2) Cho x, y là hai số thoả mãn: 
Tính giá trị biểu thức: Q = 
3) Cho hệ phương trình. 
Gọi nghiệm của hệ phương trình là . Tìm giá trị của m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu II: (3điểm)
1) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số y = (m2 - 5m)x + 2m + 1 song song với đường
thẳng y = -4x + 5 đồng thời đi qua điểm A(0; 3).
2) Cho a, b, c là ba số thoả mãn . 
Chứng minh rằng: 
3) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x; y) sao cho. 
	x < y và 
Câu III: (3điểm)
Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (M, N là tiếp điểm), tia MO cắt tia AN tại E, tia NO cắt tia AM tại F
1) Chứng minh rằng EF // MN.
2) Gọi giao điểm của tia AO với đường tròn (O; R) là B, C (B nằm giữa A và C)
Tính R biết AM = 20cm, AC = 50cm.
3) Gọi giao điểm của MN với AO là H. Không tính giá trị hãy chứng minh rằng 
AB.AC = AH.AO
Câu IV: (1điểm)
Cho các số nguyên dương a, b, c, d thoả mãn ab = cd. Chứng minh rằng số:
A = a2008 + b2008 + c2008 + d2008 là hợp số.
Họ và tên thí sinh: ............................................................ Số báo danh: .........................
Chữ kí giám thị 1: ..................................... Chữ kí giám thị 2: ........................................
Chú ý : Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm
Phòng Giáo dục và Đào tạo Tứ Kỳ
Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi huyện lớp 9
năm học 2008-2009
Môn thi: Toán (Thời gian làm bài 150 phút)
STT
Nội dung
Điểm
Câu 1
(3 điểm)
1
ĐK: 
0,25
x = 5; x = 6 ; x = -6
0,5
Kết hợp với ĐK ta có x = 5; x = 6
0,25
2
 (2x-y-4=0)
0,5
x = 3; y = 2
0,25
Q = (3 - 2)2008 + 2008 = 1 + 2008 = 2009
0,25
3
0,5
M = x2 - 3y2 = (2m - 1)2 - 3(m - 1)2 = (m + 1)2 - 3 - 3
0,25
Giá trị nhỏ nhất của M bằng - 3 khi m = -1.
0,25
Câu 2
(3 điểm)
1
* ĐK để hai đường thẳng song song là 
 m = 1; m = 4 (1)
0,5
*ĐK để đường thẳng y = (m2 - 5m)x + 2m + 1 đi qua
 A(0; 3) là (m2 - 5m).0 + 2m + 1 = 3 m = 1 (2)
0,25
Kết hợp (1) và (2) ta được m = 1
0,25
2
Với Ta có 
0,5
điều phải chứng minh
0,5
3
Pt 
0,25
Ta thấy 6 là số vô tỉ, do đó vế phải là căn thức đồng dạng chứa 
Đặt 
(a; b ; a < b)
0,25
 a + b = 6 a = 1; b = 5 hoặc a = 2; b = 4
0,25
Nghiệm là : (55; 1375), (220; 880)
0,25
STT
Nội dung
Điểm
Câu 3
(3 điểm)
1
Theo t/c tiếp tuyến ta có OM AM; ON AN
DAEF có hai đường cao cắt nhau tại O
 O là trực tâm của DAEF AO EF (1
0,5
Chứng minh được OA MN (2)
0,25
Từ (1) và (2) MN // EF
0,25
2
 Chứng minh được (cùng phụ
 với ) lại có 
0,25
 DAMB ∽ DACM (g.g) AM2 = AB.AC (3)
0,5
 400 = AB.50 AB = 8 BC = 42 R = 21cm.
0,25
3
DAMO vuông tại M có MH AO AM2 = AH.AO (4)
0,5
Từ (3) và (4) AB.AC = AH.AO
0,5
Câu 4
(1 điểm)
Giả sử q = (a; c) Ta có: a = qa1; c = qc1 (Với (a1; c1) = 1)
Vì ab = cd qa1b = qc1d a1b = c1d
0,25
Vì (a1; c1) = 1 b c1 tức là b = c1k (k N*)
Do đó d = a1k
0,25
A = a2008 + b2008 + c2008 + d2008
 = q2008.a12008 + c12008.k2008 + q2008.c2008 + a12008.k2008
 = (a12008 + c12008)(k2008 + q2008) là hợp số
0,5