Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán lớp 9

 UBND huyện Kinh môn
Phòng giáo dục và đào tạo
đề thi chọn học sinh giỏi huyện
Môn Toán lớp 9
Năm học 2013 - 2014
( Thời gian làm bài 150 phút )
Câu 1 ( 2.0 điểm)
 Rút gọn các biểu thức sau :
 1) .
 2) , với .
Câu 2 ( 2.0 điểm)
 1) Giải phương trình : .
 2) Cho . Tìm số hữu tỉ a để M là số nguyên.
Câu 3 ( 2.0 điểm)
 1) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn .
 2) Cho a, b là các số nguyên thỏa mãn chia hết cho 7. Chứng minh rằng chia hết cho 7.
Câu 4 ( 3.0 điểm)
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A ( AC > AB) đường cao AH (H BC). Trờn tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuụng gúc với BC tại D cắt AC tại E .
1) Chứng minh rằng hai tam giỏc BEC và ADC đồng dạng. Tớnh độ dài đoạn thẳng BE theo m =AB.
 2) Gọi M là trung điểm của của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giỏc BHM và BEC đồng dạng. Tớnh số đo gúc AHM.
 3) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh : .
Câu 5 ( 1.0 điểm)
 Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 .
Hướng dẫn chấm môn toán
CÂU
PHẦN
NỘI DUNG
ĐIỂM
1(2điểm)
1(1điểm)
0,5
0,25
0,25
1(1điểm)
, với 
*Nếu 1 < x <2 ta cú 
* Nếu x > 2 ta cú 
0,25
0,25
0,25
0,25
2(2điểm)
1(1điểm)
 ĐKXĐ : R
Phương trỡnh (1) vụ nghiệm
Phương trỡnh (2) cú nghiệm là 
Vậy phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm là 
0,25
0,25
0,25
0,25
2(1điểm)
(ĐKXĐ : )
Đặt ( n là số nguyờn ) Ta cú 
Nếu n = 2 vụ lý
Nếu 
Do 	
Do n nguyờn nờn n = 1 khi đú a = 9 ( thỏa món)
Vậy a = 9 
0,25
0,25
0,25
0,25
3(1điểm)
1(1điểm)
 (1)
Vỡ x > 0 nờn ( 1) 
Do x, y là số nguyờn ta cú bảng sau 
1-x
1
2
-1
-2
x-2y
2
1
-2
-1
x
0
-1
2
3
y
-1
-1
2
2
Mà x, y > 0 nờn cú cỏc cặp số nguyờn (x; y) thỏa món là (2; 2) và (3; 2)
0,25
0,25
0,25
0,25
2(1điểm)
Ta cú : 7
Do ( với a, b nguyờn) vỡ (2, 7) = 1
Từ đú ta cú 
Vậy chia hết cho 7. 
0,25
0,25
0,25
0,25
4(3điểm)
1(1điểm)
 XộtCDE và CAB cú chung 
Nờn CDE đồng dạng CAB 
XộtBEC và ADC cú chung và 
BEC đồng dạng ADC (c.g.c) ( Hai gúc tương ứng)
Ta cú HD = HA (gt) AHD vuụng cõn tại H 
ABE vuụng tại AAB = BE.sin m = BE. BE = m.
0,25
0,25
0,25
0,25
2(1điểm)
Ta cú tam giỏc ABE vuụng cõn tại A cú AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao ta cú : BM.BE = AB2
ABC vuụng tại A , đường cao AH 
 ta cú : BH.BC = AB2
BM.BE = BH.BC
Xột BHM và BEC cú chung và 
Nờn BHM đồng dạng BEC (c.g.c) 
0,25
0,25
0,25
0,25
3(1điểm)
 Tam giỏc ABE vuụng cõn tại A cú AM là đường trung tuyến nờn AM cũng là đường phõn giỏc nờn AG là phõn giỏc của 
Theo tớnh chất đường phõn giỏc ta cú: 
 mà ABC đồng dạngDEC
DE song song AH song song với AH 
Do đú: 
0,25
0,25
0,25
0,25
5(1điểm)
* Ta chứng minh với hai số dương x, y ta luụn cú 
(*) Dấu bằng xảy ra khi x = y
* Áp dụng đẳng thức Cụsi : Ta cú 
Ấp dụng bất đẳng thức (*)
Tương tự: 
Giỏ trị lớn nhất của M là khi a = b = c
0,25
0,25
0,25
0,25
(Nếu học sinh giải bằng cỏch làm khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa )