Đề thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2008 - 2009 môn toán 9

phòng giáo dục - đào tạo
huyện trực ninh
*****
đề chính thức
Đề thi chọn học sinh giỏi huyện
Năm học 2008 - 2009
Môn Toán 9 
Ngày thi: 10 tháng 12 năm 2008
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1.(3,0 điểm) 	
a,Tính: 
b, Không sử dụng bảng số và máy tính hãy so sánh: 
 và 	
Bài 2.(4,0điểm)
 Cho biểu thức: với x > 0 và x 1
a, Rút gọn P.
b, Tìm x để 
c, So sánh với 2P
Bài 3.(3,5 điểm)
	 a, Giải phương trình: 
	b, Cho x, y là các số thoả mãn: 
	Hãy tính giá trị của biểu thức: 
Bài 4.(7,5 điểm)
	Cho tam giác ABC (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn (O;R). Đường tròn (O;R) tiếp xúc với các cạnh BC, AB, AC lần lượt tại các điểm D, N, M. Kẻ đường kính DI của đường (O;R). Qua I kẻ tiếp tuyến của đường (O;R) nó cắt AB, AC lần lượt tại E, F.
a, Biết AB = 8cm, AC = 11cm, BC = 9cm. Tính chu vi của tam giác AEF. 
b, Chứng minh EI. BD = IF.CD = R2.
c, Gọi P là trung điểm của BC, Q là giao điểm của AI và BC, K là trung điểm của AD. Chứng minh ba điểm K, O, P thẳng hàng và AQ = 2KP.
Bài 5.(2,0 điểm)
a, Với a, b > 0 chứng minh: . Dấu “=” xảy ra khi nào?
b, Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn: 
Tìm giá trị lớn nhất của 
----- Hết -----
Họ tên thí sinh:………………………….
Số báo danh : …………………………
Chữ ký giám thị 1:……………………….
Chữ ký giám thị 2:……………………….
phòng giáo dục - đào tạo
huyện trực ninh
*****
Hướng dẫn chấm thi sinh giỏi huyện
Năm học 2008 - 2009
Môn Toán 9 
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1.(3,0 điểm) 	
a,Tính: 
Ta có: 
0,5
2,0 đ
= (vì )
0,5
=
0,5
0,5
b, Không sử dụng bảng số và máy tính hãy so sánh: và 
Ta có 
0,5
1,0 đ
 Vậy A < B.
0,5
Bài 2.(4,0điểm)
 a, Rút gọn P.
Ta có 
 với x > 0 và x 1
0,5
1,5đ
0,5
. Vậy 
0,5
b, Tìm x để 
Ta có ( với x > 0; x 1) 
Nên 
0,5
1,25đ
 ( vì với mọi x > 0)
 ( t/m đk). 
0,5
 Vậy với x = 4 thì 
0,25
c, So sánh với 2P
Ta có ( với x > 0; x 1)
Mà với mọi x > 0, 
nên với mọi x > 0
0,5
1,25đ
Ta lại có với mọi x > 0
0,5
Vì P > 0 và P < 2 nên P(P - 2) < 0P2- 2P < 0 P2 < 2P. Vậy P2 < 2P
0,25
Bài 3.(3,5 điểm) a, Giải phương trình: 
ĐKXĐ: (*)
0,25
1,75đ
áp dụng bđt Bunhiakôpski ta có: . 
Dấu “=” xảy ra x-3 = 5 – x x = 4
0,5
Ta lại có x2 – 8x + 18 =(x – 4)2 + 2 0 vớix.Dấu “=” xảy ra x= 4
0,5
Suy ra x = 4
Với x = 4 thoả mãn ĐK (*), vậy nghiệm của phương trình là x = 4
0,5
b, Cho x, y là các số thoả mãn: (*)
	Hãy tính giá trị của biểu thức: 
Từ 
 (1)
0,75
1,75đ
Tương tự ta có (2) 
Lấy (1) cộng với (2) ta có : x = -y
0,5
Suy ra 
Vậy A = 1
0,5
Bài 4.(7,5 điểm)
a,Biết AB = 8cm, AC = 11cm, BC = 9cm. Tính chu vi của tam giác AEF. 
+ c/m cho chu vi của tam giác AEF là PAEF = 2AN
0,75
2,0đ
+ c/m cho 2AN = AB + AC – BC = 8 + 11 – 9 = 10 cm
0,75
+ suy ra PAEF = 2AN = 10 cm
0,5
b,Chứng minh EI. BD = IF.CD = R2.
+ c/m cho tam giác EOB vuông tại O
EN.BN = ON2 = R2 ( theo hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà EI = EN, BD = BN ( t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm) EI. BD = R2.
1,25
2,5đ
+ Tương tự ta có: IF.DC = R2
0,75
+ Suy ra EI. BD = IF.CD = R2.
0,5
c, Gọi P là trung điểm của BC, Q là giao điểm của AI và BC, K là trung điểm của AD. Chứng minh ba điểm K, O, P thẳng hàng và AQ = 2KP.
áp dụng hệ qủa định lý Talet trong các tam giác AQC và tam giác ABC ta có (1)
0,75
3,0đ
Theo câu b ta có: (2)
0,75
Từ (1) và (2) suy ra 
0,5
+Vì P là trung điểm của BC (gt), QC = BD ( cmt) P là trung điểm của DQ
Mà O là trung điểm của ID suy ra OP là đường trung bình của tam giác DIQ OP // IQ hay OP // AQ (3)
 + Vì K là trung điểm của AD, O là trung điểm của ID suy ra KO là đường trung bình của tam giác ADI KO // AI hay KO // AQ (4)
 + Từ (3) và (4) K, O, P thẳng hàng. 
0,75
Do K là trung điểm của AD, P là trung điểm của DQ suy ra KP là đường trung bình của tam giác DAQ suy ra AQ = 2KP.
0,25
Bài 5.(2,0 điểm)
a, Với a, b > 0 chứng minh: . Dấu “=” xảy ra khi nào?
Với a, b > 0 ta có : (a – b)2 0 a2 + b2 2ab 4ab ( a + b )2 
0,25
0,75đ
0,25
. Dấu “ = ” xảy raa = b.
0,25
b, Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn: 
Tìm giá trị lớn nhất của 
Vì x, y, z là các số dương, áp dụng bất đẳng thức ở câu a ta có : (1) 
Dấu “=” xảy ra x = y = z = 
0,75đ
1,25đ
(2) 
Dấu “=” xảy ra x = y = z = 
(3) 
Dấu “=” xảy ra x = y = z = 
Từ(1); (2); (3) suy ra 
 ( vì ) Dấu “=” xảy ra x = y = z = 
Vậy 
0,5đ
Lưu ý:
Nếu thí sinh làm bài không như cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn.
Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có ) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm, không chia nhỏ dưới 0,25.
Điểm toàn bài không làm tròn.
--- Hết ---