Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 môn toán năm học 2008-2009 thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề)

 Sở gd-đt Lạng Sơn
 trường thpt Bắc Sơn
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10
Môn Toán
NĂM HỌC 2008-2009 
Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề)
 Bài1(8đ).
 1) Giải phương trình: 
 2) Giải hệ phương trình: 
 .
 Bài 2(3đ). 
 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P = 
Bài 3(2đ).
 Cho tam giác ABC với A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) và đường thẳng d :
 x – 2y – 3 = 0. Tìm điểm M thuộc d sao cho đạt giá trị nhỏ nhất
 Bài 4(6 đ)
Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn, cú H là trực tõm, gọi R là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp.
1) Chứng minh rằng: AH = 2R.cosA.
2) Chứng minh rằng: 
Bài 5(1 đ)
Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: 
 ________________ Hết _____________ 
Câu
NỘI DUNG
ĐIỂM
Cõu 1:
1) Giải phương trình: (1)
* Đặt t = x(x+3) ị(1) trở thành t(t+2) =9/16 Û
1
* với t = ta có x(x+3) = -Û x2 + 3x + = 0Û x = - 
1
 * với t = ta có x(x+3) = Û x2 + 3x - = 0Û
1
* Vậy phương trình có nghiệm 
1
2) Giải hệ phương trình: 
 (2)
(2) Û đặt S = x+ y; P = xy
Ta được hệ Khi đó S, P là nghiệm của Phương trình
t2 - 4t + 3 = 0
 hoặc 
2
* x, y là nghiệm của phương trình u2 – u + 3 = 0
Phương trình này vô nghiệm
1
* x, y là nghiệm của phương trình u2 – 3u + 1 = 0
 Û hoặc 
1
Vây hệ có 2 nghiệm và 
Câu 2
 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P = 
* y = 0 thì P = 1
1
* y ạ 0 thì P = với t = x/y gọi P là một giá trị bất kỳ của nó khi đó phương trình sau ẩn t phải có nghiệm 
P(t2 +t +1) = t2 + 3t - 1Û(1- P)t2 + (3 -P)t – (1+ P ) = 0 có nghiệm hay
(*) Û -3P2 – 6P +13 ³ 0 Û - (1+ ) Ê P Ê - 1
1
0,5
Vậy giá trị lớn nhất của P = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = - (1+ ) 
Câu 3
Cho tam giác ABC với A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) và đường thẳng d : x – 2y – 3 = 0. Tìm điểm M thuộc d sao cho 
Q = đạt giá trị nhỏ 
Gọi M(2y+3 ; y) ẻ d Khi đó = (2y – 5 ; y+21)
= = 
Q đạt giá trị nhỏ nhất khi y = 
Vậy M(; )
2
Câu4
Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn, cú H là trực tõm, gọi R là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp.
1) Chứng minh rằng: AH = 2R.cosA.
2) Chứng minh rằng: 
1
1) Gọi A’ là điểm sao cho AA’ là đường kính dễ có BHCA’ là hình bình hành. Do đó AH = 2OD = 2OCcosA = 2RcosA
2
2)
 Ta có vì C nhọn nên 
Tương tự ta có
Vậy 
1
1
1
Câu5
Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: 
]
Cộng 3 bất đẳng thức trên vế theo vế ta có điều phải chứng minh
2