Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG
--***--
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
Năm học 2008 - 2009
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
----------------------------------------------------
Bài 1:(6 điểm)
1). Giải phương trình: 2sinx.(1 + cos2x) + sin2x = 1+ 2cosx. 
2). Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng:
.
Bài 2:(4 điểm)
Một ngân hàng câu hỏi Toán có 30 câu hỏi khác nhau gồm: 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ ngân hàng này lập một đề thi gồm 5 câu hỏi khác nhau. Tính xác suất để sao cho trong mỗi đề được chọn nhất thiết phải có đủ cả 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?
Bài 3: (6 điểm)
Cho hình thang vuông ABCD có A = D = 900, AB = 2a, CD = a, AD = 3a và M là điểm bất kỳ thuộc đoạn thẳng AD.
1). Xác định vị trí của điểm M để hai đường thẳng BM và CM vuông góc với nhau.
2). Lấy điểm S thuộc đường thẳng vuông góc với mp(BCD) tại M sao cho SM = AM, xét mặt phẳng (P) qua điểm M và vuông góc với SA. 
Mặt phẳng (P) cắt hình chóp SABCD theo thiết diện là hình gì?. Tính diện tích của thiết diện theo a, x biết x = AM và 0 < x 3a?.
Bài 4: (4 điểm)	
Cho dãy số (an) được xác định bởi: a1 = 1 và an + 1 = an + 2n – 1 với mọi n 1.
Xét dãy số (bn) mà: bn = an + 1 – an với mọi n 1.
1). Chứng minh rằng dãy số (bn) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.
2). Cho số nguyên dương N. Hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số (bn) theo N. Từ đó, hãy suy ra số hạng tổng quát của dãy số (an).
--- Hết---
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:..
Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:.
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG
--***--
ĐÁP ÁN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
Năm học 2008 - 2009
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
-------------------------------------------------------------
Bài 1: (6 điểm)
1). Ta có PT (2cosx + 1).(sin2x – 1) = 0
	Đáp số: 
2). Đẳng thức 
Đáp số: A = C = 300 ; B = 1200.
Bài 2: (4 điểm)
Số đề thi thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 56875.
Tổng số đề thi có thể có là: 142506.
Xác suất cần tìm là: .
Bài 3: (6 điểm)
1). x = a và x = 2a có 2 vị trí của M thỏa ycbt.
2). – Thiết diện cần tìm là hình thang vuông MNEF(hình vẽ).
F
E
N
M
D
C
A
S
B
 - Diện tích cần tìm: (0 < x 3a)
Bài 4: (4 điểm)
1). Từ giả thiết bn = 2n – 1 (bn) là một cấp số cộng với số hạng đầu b1 = 1 và công sai d = 2.
2). 	+ Tổng N số hạng đầu của dãy (bn) là: SN = N2
	+ Số hạng tổng quát của dãy (an) là: an = n2 – 2n + 2.
---Hết---