Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 môn: Toán THPT

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
—————————
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình: 
Câu 2 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình: 
Câu 3 (2,0 điểm).
a) Tìm giới hạn 
b) Cho dãy số xác định bởi công thức . Tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho theo n.
Câu 4 (1,0 điểm).
Chứng minh 
Câu 5 (2,0 điểm). Cho hình lăng trụ có đáy ABCD là hình thoi, lần lượt là trung điểm của và . Mặt phẳng cắt tại E.
a) Chứng minh tam giác ACE là tam giác vuông.
b) Mặt phẳng cắt tại . Tính tỉ số .
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hai số thực dương thỏa mãn .Chứng minh 
---Hết---
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: SBD: 
Cho hai số thực dương $a,\,b$ thỏa mãn ${{a}^{3}}+{{b}^{5}}\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}$.Chứng minh 
 $2b \leq \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$