Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 chuyên Tỉnh Nam Định - Môn Toán - Đề số 1

1Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 chuyên
Tỉnh Nam Định1
Môn Toán - Đề số 1
Thời gian làm bài 180 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 09/11/2006
Bài 1:(4 điểm )
Với mỗi số nguyên dương n cho trước, ta xét hàm số f(k) = k2+[ n
k2
], ∀k ∈ R
(ký hiệu [x] là phần nguyên của x).
Hãy xác định tất cả các giá trị của n, để mink∈N∗ f(k) = 200
Bài 2:(5 điểm)
Cho các đa thức P (x) và Q(x) có hệ số thực, thỏa mãn các điều kiện sau:
a. Mỗi đa thức có ít nhất một nghiệm thực;
b. P (1 + x+Q2(x)) = Q(1 + x+ P 2(x)), ∀x ∈ R.
Chứng minh rằng : P 2(x) = Q2(x), ∀x ∈ R.
Bài 3:(5 điểm )
Cho dãy số vô hạn a1, a2, . . . , an, . . .; thỏa mãn điều kiện : với mọi số tự
nhiên n ≥ 2 đều có an = an−1(an−1 − 1).
Hãy xác định a1 để dãy số (an) có giới hạn.
Bài 4:(6 điểm )
Trên mặt phẳng cho đường tròn tâm O bán kính R; hai dây cung vuông
góc nhau là AB và CD chia miền hình tròn (O,R) thành 4 miền. Ta ghi kí
hiệu các miền đó thứ tự là X, Y, Z,W theo một chiều nhất định trên vòng
tròn (O,R) với các cung nhỏ liên tiếp kề nhau và kí hiệu diện tích của 4 miền
theo thứ tự trên là S1, S2, S3, S4.
Khi hai dây cung AB,CD thay đổi và O thuộc miền X . Hãy tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của đại lượng
S1+S3
S2+S4
.
1Tài liệu được soạn thảo lại bằng LATEX2εbởi Phạm duy Hiệp-lớp Toán 04-07 THPT
chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định.