Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 chuyên Tỉnh Nam Định - Môn Toán - Đề số 2

1Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 chuyên
Tỉnh Nam Định1
Môn Toán - Đề số 2
Thời gian làm bài 180 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 10/11/2006
Bài 1:(5 điểm )
Tìm tất cả các hàm số f : (0,+∞)→ (0,+∞) thỏa mãn điều kiện :
f(f(x)) = 6x − f(x), ∀x ∈ (0,+∞).
Bài 2:(5 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A lớn nhất trong ba góc A,B,C. Chứng minh
rằng với mọi điểm M trong không gian, ta đều có MA ≤MB +MC.
Bài 3:(5 điểm )
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0 và t là một số
thực dương.
Chứng minh :
tx−y + ty−z + tz−x ≥ tx + ty + tz.
Bài 4:(5 điểm )
Chứng minh rằng phương trình
1
x
+
1
y
+
1
z
+
1
xyz
=
12
x + y + z
có vô số nghiệm nguyên dương (x, y, z).
1Tài liệu được soạn thảo lại bằng LATEX2εbởi Phạm duy Hiệp-lớp Toán 04-07 THPT
chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định.