Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 môn thi: Toán học (vòng I)

m
at
h.
vn
Sở Giáo Dục & Đào Tạo Bình Định
Năm học 2010-2011
Đề thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12
Môn thi: Toán học
Vòng I
Bài 1.
Giải hệ phương trình

x2+ y2+ z2+2xy− zx− zy= 3
x2+ y2+ yz− zx−2xy=−1
Bài 2.
Tìm a để phương trình x6 + 3x5 + (6−a)x4 + (7−2a)x3 + (6−a)x2 + 3x+ 1 = 0 có
nghiệm.
Bài 3.
Chứng minh rằng với 0< x< 1 và n nguyên dương, ta có x2n(1− x)< 1
2ne
.
Bài 4.
Cho dãy số un xác định như sau un = 3n2+3n+7; n=1,2,3,. . .
Chứng minh rằng không có số hạng nào của dãy là lập phương của một số tự nhiên.
Bài 5.
Cho dãy số xn , n =1,2, 3,. . . thỏa mãn

1< x1 < 2
xn+1 = 1+ xn− x
2
n
2
,∀n≥ 1
Chứng minh dãy số xn hội tụ và tìm lim
n→∞xn
Bài 6.
Cho tứ giác lồi ABCD có AB= BC =CD= a.
Chứng minh rằng SABCD ≤ 3a
2
√
3
4
. (SABCD là diện tích tứ giác ABCD).
——— Hết ———