Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 môn thi: Toán (vòng I)

m
at
h.
vn
Sở Giáo Dục & Đào Tạo Bình Dương
Năm học 2010 - 2011
Đề thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12
Môn thi: Toán học
Vòng I
Bài 1.
1) Cho n số dương a1,a2,a3, ...,an và s= a1+a2+a3+ ...+an.
Chứng minh rằng:
1
s−a1 +
1
s−a2 + . . .+
1
s−an ≥
n2
(n−1)s .
2) Xét các số thực thay đổi x,y thoả điều kiện x2− xy+ y2 = 3.
Tìm giá trị lớn nhất của: T = x2y− y2x.
Bài 2.
1) Tìm hàm số f(x), biết rằng: (x−1) f (x)+ f
(
1
x
)
=
1
x−1 , x 6= 0,x 6= 1
2) Cho hàm số f (x),g(x) liên tục, thoả f (g(x)) = g( f (x)), ∀x ∈ R.
Chứng minh rằng: Nếu phương trình f (x) = g(x) không có nghiệm thực thì phương trình
f ( f (x) = g(g(x)) cũng không có nghiệm thực.
Bài 3.
Trong không gian cho 2 đường chéo nhau Ax,By , góc giữa hai đường thẳng đó là 90o,
AB= a là đường thẳng vuông góc chung của chúng. Lấy điểmM trên Ax và P trên By sao
cho 2AM.BP= AB2.
Tính khoảng cách từ trung điểm O của đường thẳng MP đến AB theo a.
Bài 4.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số n2+3n+5 không chia hết cho 121.
Bài 5.
Trong tổ có 9 học sinh, trong đó có 3 học sinh giỏi có tên là A,B,C.
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 9 học sinh thành một hàng ngang mà trong đó 3 học sinh
giỏi không ngồi cạnh nhau từng đôi một ?
——— Hết ———