Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 năm 2009 - 2010 môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2009-2010
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (3 điểm)
Cho hàm số 
1. Tìm để hàm số (1) có cực trị .
2. Khi hàm số (1) có cực trị , hãy tìm để điểm Anằm trên đường thẳng đi qua các
điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Câu 2: (3 điểm)
Cho các số nguyên dương a và b thỏa mãn . Hãy so sánh hai số: và 
Câu 3: (4 điểm) 
1. Cho hàm số 
 Tính đạo hàm của hàm số tại .
 2. Giải phương trình: 
Câu 4: (2 điểm)
Cho các số thực x , y , z thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Câu 5: (3 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M và hai đường thẳng , . Gọi A là giao điểm của và .
1. Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên , đi qua điểm M và tiếp xúc với.
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M cắt , lần lượt ở B và C sao cho 
ba điểm A, B, C tạo thành tam giác có BC 3AB.
Câu 6: (3 điểm) 
Cho tứ diện ABCD có ABa , ACb , ADc và . 
 1. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo .
2. Cho thay đổi luôn thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác BCD.
Câu 7: (2 điểm)
Giải hệ phương trình : 
--HẾT--
Họ và tên thí sinh:...................................................................... Số báo danh:...................... 
SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2009-2010
ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN 
(Đáp án gồm 06 trang)
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
Câu 1
Cho hàm số 
 1. Tìm để hàm số (1) có cực trị .
 2. Khi hàm số (1) có cực trị , hãy tìm để điểm Anằm trên đường thẳng đi 
 qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
 3.0
Ý 1.
(1 đ)
Ta có: 
0.5
Hàm số (1) có cực trị khi và chỉ khi y’ có hai nghiệm phân biệt
0.5
0.5
Ý 2.
(2 đ)
Với (*) thì hàm số có cực trị và tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là nghiệm của hệ phương trình: 	
0.5
0.25
0.25
Tọa độ các điểm cực trị thuộc đường thẳng. Vậy là đường thẳng qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
0.25
Điểm M(3;5) 
Kết hợp (*) ta có m = 4 là giá trị cần tìm.
0.25
Câu 2
Cho các số nguyên dương a và b thỏa mãn . Hãy so sánh hai số : và 
3.0
Xét hàm số có 	
0.75
0
0
e
2
4
+
+
 BBT 
0.75
0.5
0.25
0.25
0.25
Vậy với a, b nguyên dương, ta có:
Nếu hoặc thì 
 Nếu hoặc hoặc thì 
 Nếu thì 
0.25
Câu 3
1. Cho hàm số 
 Tính đạo hàm của hàm số tại .
2. Giải phương trình : 
4.0
Ý 1.
(2 đ)
Xét giới hạn 
0.5
0.5
0.75
Vậy 
0.25
Ý 2.
(2 đ)
ĐK: .
x = 1 không là nghiệm của phương trình
0.5
 thì PT (*)
0.5
Ta xét các hàm số sau trên 
	1) có 
0.25
	2) có 
0.25
Do đó trên miền x > 1: VT(*) là hàm số đồng biến, VP(*) là hàm số nghịch biến nên nghiệm cũng là nghiệm duy nhất của (*)
0.25
Tóm lại: PT có nghiệm duy nhất 
0.25
Câu 4
Cho các số thực x , y , z thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2.0
Áp dụng BĐT Buniacovsky ta có:
0.75
Xét hàm số:	 trên miền xác định 
0.25
0.25
0.25
Suy ra 
Với thỏa mãn thì . Vậy 
0.5
Câu 5
 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M và hai đường thẳng 
 , . Gọi A là giao điểm của và .
 1.Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng , đi qua điểm M và 
 tiếp xúc với đường thẳng .
 2.Viết phương trình đường thẳng qua M cắt , lần lượt ở B và C sao cho ba 
 điểm A , B , C tạo thành tam giác có BC 3AB.
3.0
Ý 1.
(1.5 đ)
Gọi đường tròn cần tìm là (T) có tâm I, bán kính là R. Vì
0.25
(T) qua M và tiếp xúc d2 nên ta có:
0.25
0.25
	Phương trình (T) là : 
0.25
Phương trình (T) là : 
0.25
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu đề bài với phương trình (1) và (2)	
0.25
Ý 2.
(1.5 đ)
Ta có tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 
0.25
Lấy điểm . Ta tìm trên d2 điểm F () sao cho EF = 3AE
Do . 
Khi đó	 
0.25
(Cả hai điểm F này đều thỏa mãn )
 0.25
Vì 
0.25
0.25
0.25
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài là 
 và 
0.25
Câu 6
Cho tứ diện ABCD có ABa , ACb , ADc và .
1. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo .
2. Cho thay đổi luôn thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác BCD. 	
3.0
Ý 1.
(1.5 đ)
Không giảm tính tổng quát, giả sử (cũng có thể giả sử ) . Khi đó trên các cạnh AC , AD lần lượt lấy các điểm E và F saocho AE = AF = a. Ta nhận được tứ diện ABEF là tứ diện đều cạnh a.
0.5
Tính được thể khối tích tứ diện đều ABEF là 
0.5
Ta có :
0.5
Ý 2.
(1.5 đ)
Ta có 	
0.25
Tương tự : 	
0.25
Chu vi tam giác BCD là 
0.25
Ta có 	: 
0.25
Tương tự ta có: 
0.25
Suy ra : . 
Với thỏa mãn ta có 
Vậy 
0.25
Câu 7
Giải hệ phương trình sau:
2.0
Thay (2) vào (1) có : 
Thế (3) vào (4) ta được :
0.5
Xét , đặt y = 2cost ( ) , ta có :
PT(*) 
0.5
0.25
Vì nên 
Từ đó PT (*) có 27 nghiệm phân biệt trên đoạn là
 với và với 
0.25
PT (*) là PT bậc 27 nên có tối đa 27 nghiệm . Từ đó trên, PT(*) có 27 nghiệm phân biệt
 với và với 
Thay các giá trị này của y vào (3) và (2) ta đi đến kết luận : 
Hệ phương trình đã cho có các nghiệm là : và 
với và 
0,5
HƯỚNG DẪN CHUNG
+ Trên đây chỉ là các bước giải và khung điểm bắt buộc cho từng bước , yêu cầu thí sinh phải trình bầy và 
 biến đổi hợp lý mới được công nhận cho điểm .
+ Mọi cách giải khác đúng vẫn cho tối đa theo biểu điểm .
+ Chấm từng phần . Điểm toàn bài không làm tròn .