Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 năm học 2000 - 2001 môn thi: Toán

 Sở giáo dục - đμo tạo 
 Thái bình 
 Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 
 Năm học 2000 - 2001 
 ***** 
 Đề chính thức 
 Môn thi : toán 
 ( Thời gian làm bài 180 phút ) 
 ******* 
 Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com 
Bài 1 : ( 4 điểm ) 
 Tìm tất cả giá trị của tham số a để ph−ơng trình : 
3 2x 3x a 0− − = 
 có ba nghiệm phân biệt , trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn 1 . 
Bài 2 : ( 6 điểm ) 
 Trên mặt phẳng toạ độ cho các đ−ờng thẳng có ph−ơng trình : 
x sin t ycos t cos t 2 0+ + + = , trong đó t là tham số . 
 1, Chứng minh rằng khi t thay đổi , các đ−ờng thẳng này luôn tiếp xúc với 
 một đ−ờng tròn cố định . 
 2, Gọi (x0 ; y0) là nghiệm của hệ ph−ơng trình : 
2 2
x sin t ycos t cos t 2 0
x y 2y 3 0
+ + + =⎧⎨ + + − =⎩
 Chứng minh rằng : 2 20 0x y+ ≤ 9
Bài 3 : ( 3 điểm ) 
 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : 
22cos x cos x 1
y
cos x 1
+ += + 
Bài 4 : ( 4 điểm ) 
 Trên mặt phẳng toạ độ cho hai đ−ờng thẳng d1 , d2 có ph−ơng trình : 
(d1) : 4x +3y + 5 = 0 
(d2) : 3x – 4y – 5 = 0 
 Hãy viết ph−ơng trình đ−ờng tròn tiếp xúc với hai đ−ờng thẳng trên và có tâm nằm 
 trên đ−ờng thẳng d có ph−ơng trình : x – 6y – 8 = 0 
Bài 5 : ( 3 điểm ) 
 Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi x > 0. 
2
x xe 1 x
2
> + + 
 Sở giáo dục - đμo tạo 
 Thái bình 
 Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 
 Năm học 2001 - 2002 
 ***** 
 Đề chính thức 
 Môn thi : toán 
 ( Thời gian làm bài 180 phút ) 
 ******* 
 Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com 
Bài 1 : ( 6 điểm ) 
 Cho hàm số: 
22x (m 2)x my
2x m
− + + += − 
 1 ,Tìm các điểm cố định của đồ thị hàm số khi m thay đổi . 
 2 , Tìm các đ−ờng tiệm cận của đồ thị hàm số . 
 3 , Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại , cực tiểu 
Bài 2 : ( 4 điểm ) 
 1 , Tìm m để : 
2 2 29x 20y 4z 12xy 6xz mzy 0+ + − + + ≥ với mọi số thực x , y , z. 
 2 , Chứng minh rằng nếu các số a , b , c khác 0 và m > 0 thoả mãn hệ thức : 
a b c 0
m 2 m 1 m
+ + =+ + 
 thì ph−ơng trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0 ; 1) 2ax bx c 0+ + =
Bài 3 : ( 4 điểm ) 
 1, Với giá trị nào của a thì hàm số : 
6 6y cos x sin x a sin x cos= + + x 
 xác định với mọi giá trị của x . 
 2, Tìm dạng của tam giác ABC thoả mãn : 
cot gA cot gB A B
1000A 1001B 2
− = −⎧⎨ + = π⎩ 
Bài 4 : ( 4 điểm ) 
 Cho tam giác ABC , gọi d1 , d2 , d3 là khoảng cách từ một điểm M nằm phía 
 trong tam giác đến các cạnh của tam giác . 
 1 , Chứng minh bất đẳng thức : 
3
1 2 3
8Sd d , trong đó S là diện tích tam d
27abc
≤
 giác ABC ; a , b , c là độ dài các cạnh tam giác . 
 2 , Lập bất đẳng thức t−ơng tự cho tứ diện trong không gian. 
Bài 5 : ( 2 điểm ) 
 Cho đ−ờng tròn tâm O , đ−ờng kính AB = 2R . Qua điểm M thuộc đ−ờng tròn 
 , kẻ đ−ờng thẳng MH vuông góc với AB ( H thuộc AB ) . Điểm I thuộc đ−ờng 
 thẳng MH thoả mãn : IM = 2IH . Tìm tập hợp các điểm I khi M di chuyển 
 trên đ−ờng tròn 
 Sở giáo dục - đμo tạo 
 Thái bình 
 Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 
 Năm học 2002 - 2003 
 ***** 
 Đề chính thức 
 Môn thi : toán 
 ( Thời gian làm bài 180 phút ) 
 ******* 
 Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com 
Bài 1 : ( 3 điểm ) 
 Cho hàm số 
x
2
e v i x
y
x x 1 v i x 0
⎧ ≥⎪= ⎨ + + <⎪⎩
ớ
ớ
0
 Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x = 0 
Bài 2 : ( 2 điểm ) 
 Lập bảng biến thiên của hàm số sau : 
ny x (2 x)= − 2 với n nguyên d−ơng . 
Bài 3 : ( 2 điểm ) 
 Tìm a để hàm số sau chỉ có cực tiểu mà không có c−c đại : 
4 3 2y x 4ax 3(a 1)x 1= + + + + 
Bài 4 : ( 3 điểm ) 
 Cho ph−ơng trình : 3 2x mx 1 0 (1+ − = )
 1, Chứng minh rằng ph−ơng trình (1) luôn có một nghiệm d−ơng . 
 2, Xác định m để ph−ơng trình (1) có một nghiệm duy nhất . 
Bài 5 : ( 6 điểm ) 
 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(a ; 0) , B(0 ; a) (với a > 0)và đ−ờng tròn 
 có ph−ơng trình : ( )ξ
2 2 2x y 2ax m 2y a+ − − + = 0 ( m là tham số ) 
 1 , Chứng minh rằng đ−ờng tròn ( )ξ tiếp xúc với Ox tại A . Tìm giao điểm thứ 
 hai P của đ−ờng tròn ( và đ−ờng thẳng AB. )ξ
 2 , Lập ph−ơng trình đ−ờng tròn ( )′ξ đi qua P và tiếp xúc Oy tại B. 
 3 , Hai đ−ờng tròn ( và ()ξ )′ξ cắt nhau tại P và Q . Chứng minh rằng khi m 
 thay đổi đ−ờng thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định . 
Bài 6 : ( 2 điểm ) 
 Lập ph−ơng trình đ−ờng phân giác của góc tạo bởi 2 đ−ờng thẳng : 
x y 3 0+ − = , 7x y 4 0− + = có chứa điểm M0(-1 ; 5) 
 Bài 7 : ( 2 điểm ) 
 Cho các số thực x1 , x2 ,  , x2002 , y1 , y2 ,  , y2000 thoả mãn các điều kiện sau : 
1 2 2002 1 2 2000
1 2 2002 1 2 2000
1) e x x ... x y y ... y
2) x x ... x y y ... y
≤ ≤ ≤ ≤ < ≤ ≤ ≤
+ + + ≥ + + + 
 Chứng minh : 1 2 2002 1 2 2000x x ...x y y ...y>
 Sở giáo dục - đμo tạo 
 Thái bình 
 Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 
 Năm học 2003 - 2004 
 ***** 
 Đề chính thức 
 Môn thi : toán 
 ( Thời gian làm bài 180 phút ) 
 ******* 
 Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com 
Bài 1 : ( 5 điểm ) 
 Cho hàm số 
4
2xy 3x x
2
1= − + − 
 1 , Chứng minh rằng hàm số có 3 cực trị . 
 2 , Cho tam giác có toạ độ đỉnh là toạ độ các điểm cực trị trên , tìm toạ độ 
 trọng tâm tam giác. 
Bài 2 : ( 4 điểm ) 
 1 , Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ đ−ợc 2 tiếp tuyến với 
 parabol và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau. 2y 4x x= −
 2 , Tính diện tích tam giác có đỉnh là điểm 
5 17M( ; )
2 4
 và các tiếp điểm của các 
 tiếp tuyến đó đi qua điểm M. 
Bài 3 : ( 5 điểm ) 
 1, Giải hệ ph−ơng trình : 
3 3
6 6
x 3x y 3
x y 1
⎧ y− = −⎪⎨ + =⎪⎩
 2, Giải và biện luận ph−ơng trình ; 
2 2x 2ax 2 2x 4ax a 2 23 3 x 2ax+ + + + + a− = + + 
Bài 4 : ( 4 điểm ) 
 Cho họ đ−ờng cong ( Cm) có ph−ơng trình : 
2 2
2 2
x y 1
m m 16
+ =− 
 trong đó m là tham số , m 0 . ,m 4≠ ≠ ±
 1 , Tuỳ theo giá trị của m , xác định tên gọi của đ−ờng cong đó . 
 2 , Giả sử A là một điểm tuỳ ý trên đ−ờng thẳng x = 1 và A không thuộc trục 
 hoành. Chứng minh rằng với mỗi điểm A luôn có 4 đ−ờng cong họ ( Cm) đi 
 qua A . 
 3 , Khi m = 5 hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đ−ờng cong trên. 
Bài 5 : ( 2 điểm ) 
 Chứng minh rằng trong tam giác ABC luôn có : 
1 1 1cot gA cot gB cot gC 3 3 2
sin A sin B sinC
⎛ ⎞+ + + ≤ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 Sở giáo dục - đμo tạo 
 Thái bình 
 Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 
 Năm học 2004 - 2005 
 ***** 
 Đề chính thức 
 Môn thi : toán 
 ( Thời gian làm bài 180 phút ) 
 ******* 
 Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com 
Bài 1 : ( 5 điểm ) 
 Cho đ−ờng cong (Cm) có ph−ơng trình : 
3 2y (m 1)x 3(m 1)x (6m 1)x 2m= + − + − − − 
 1 , Chứng minh rằng (Cm) luôn đi qua ba điểm cố định thẳng hàng khi m thay 
 đổi . 
 2 , Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng toạ độ để (Cm) không đi qua với mọi 
 m . 
Bài 2 : ( 3 điểm ) 
 Xác định dạng của tam giác ABC nếu : 
a cosA bcosB ccosC a b c
a sin A bsin B csinC 9R
+ + +=+ +
+
Bài 3 : ( 4 điểm ) 
 Cho parabol và elip 2y x 2x= −
2 2x y 1
9 1
+ = 
 1, Chứng minh rằng parabol và elip luôn có bốn giao điểm có hoành độ x1 , x2 , 
 , x3 ,x4 thoả mãn − < 1 2 3 41 x 0 x 1 x 2 x 3< < < < < < <
 2, Viết ph−ơng trình đ−ờng tròn đi qua 4 giao điểm trên . 
Bài 4 : ( 6 điểm ) 
 1, Giải hệ ph−ơng trình : 
3 2
3 2
3 2
2z 1 x x x
2y 1 z z z
2x 1 y y y
⎧ + = + +⎪ + = + +⎨⎪ + = + +⎩
 2 , Giải ph−ơng trình : 
x x2 21 a 1 a 1
2a 2a
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −− =⎜ ⎟ với 0 < a < 1 ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Bài 5 : ( 2điểm ) 
 Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ ]0;1 thoả mãn điều kiện f(0) = f(1) . 
 Chứng minh rằng ph−ơng trình : 
1f (x) f (x )
2004
= + 
 luôn có nghiệm thuộc [ ]0;1
 Sở giáo dục - đμo tạo 
 Thái bình 
 Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 
 Năm học 2005 - 2006 
 ***** 
 Đề chính thức 
 Môn thi : toán 
 ( Thời gian làm bài 180 phút ) 
 ******* 
Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com 
Bài 1 : ( 5 điểm ) 
 Cho hàm số : 
3 2x 3x 3x ay
x
− + += 
 1 , Tìm a để đồ thị hàm số trên có ba điểm cực trị . 
 2 , Chứng minh rằng các điểm cực trị này luôn nằm trên một parabol cố định 
 khi a thay đổi 
Bài 2 : ( 4 điểm ) 
 Cho hai ph−ơng trình : 
2
2
x x 2m 1 0 (1
x 2x 2m 1 0 (2
+ + − =
+ + + =
)
)
 1 , Tìm m để hai ph−ơng trình có nghiệm chung . 
 2 , Tìm m để một trong hai nghiệm của ph−ơng trình này nằm trong khoảng 
 hai nghiệm của ph−ơng trình kia và ng−ợc lại . 
Bài 3 : ( 5 điểm ) 
 Giải các ph−ơng trình : 
x x x x
1) 5sin x cos 2x 2cos x 0
2) 2007 2006 2005 2004
+ + =
− = − 
Bài 4 : ( 4 điểm ) 
 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đ−ờng tròn có ph−ơng trình : 2 2x y+ =1
 1 , Viết ph−ơng trình tiếp tuyến với đ−ờng tròn tại điểm M , biết tia OM hợp 
 với chiều d−ơng trục Ox một góc a. 
 2 , Giả sử khi a thay đổi từ 0 đến 
4
π
 , tiếp tuyến trên thay đổi theo và quýet 
 đ−ợc một miền trên mặt phẳng toạ độ . Tính phần diện tích giới hạn bởi 
 miền đó và đ−ờng thẳng y = 0 . 
Bài 5 : ( 2điểm ) 
 Tìm các giá trị của m để hệ sau có nghiệm : 
2 2
2 2
1 mx 2xy 7y
1 m
3x 10xy 5y 2
−⎧ + − ≥⎪ +⎨⎪ + − ≤⎩
 Sở giáo dục - đμo tạo 
 Thái bình 
 Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 
 Năm học 2006 - 2007 
 ***** 
 Đề chính thức 
 Môn thi : toán 
 ( Thời gian làm bài 180 phút ) 
 ******* 
Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com 
Bài 1 : ( 5 điểm ) 
 Cho hàm số : 
2
m
x 2x my (
x 2
− += − m 0C ) với ≠ . 
 1 , Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A , B sao cho 
 các tiếp tuyến với đồ thị tại A , B vuông góc nhau . 
 2 , Tìm m để tam giác tạo bởi một tiếp tuyến bất kì của đồ thị (Cm) với hai 
 tiệm cận có diện tích bằng 1 . 
Bài 2 : ( 4 điểm ) 
 1 , Giải ph−ơng trình : 
cos 2x 1
2
1 12 cos 2x log (3cos 2x 1)
2 2
− + = + − 
 2 , Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hệ sau có nghiệm : 
2 2 4
2 2 4
x 4xy 12y 72
3x 20xy 80y a
⎧ + + ≥⎪⎨ + + =⎪⎩
Bài 3 : ( 3 điểm ) 
 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC . Đ−ờng phân giác trong AD ( D ) , BC∈
 đ−ờng cao CH ( ) lần l−ợt có ph−ơng trình : x – y = 0 , 2x + y + 3 = 0 . H AB∈
 Cạnh AC đi qua điểm M(0 ; -1) và AB = 2AM . Hãy viết ph−ơng trình các cạnh của 
tam giác ABC . 
Bài 4 : ( 2 điểm ) 
 Trên hệ toạ độ Oxy cho đ−ờng (C) có ph−ơng trình : 2 2x y 9+ = . Tìm m để 
 trên đ−ờng thẳng y = m có đúng 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó kẻ đ−ợc đúng 
 hai tiếp tuyến đến (C) và mỗi cặp tiếp tuyến ấy tạo thành một góc 45D
Bài 5 : ( 5điểm ) 
 1 , Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta có : 
x 1ln x
x
−< 
 2 , Tìm số thực α thoả mãn bất đẳng thức : 
1 n1ln(1 )
n
α ≤ −
+
 , với mọi n nguyên d−ơng. 
 Sở giáo dục - đμo tạo 
 Thái bình 
 Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12
 Năm học 2007 - 2008 
 ***** 
 Đề chính thức 
 Môn thi : toán 
 ( Thời gian làm bài 180 phút ) 
 ******* 
Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com 
Bài 1 : ( 5 điểm) 
 Cho hai số m , p ( m 0 ). ≠
 Xét đồ thị (Cm):
2 2−= x my
x
 và (Cp):
3 (2 1)= − −y x p x 
 1, Tìm điều kiện của m và p để hai đồ thị tiếp xúc nhau. 
 2, Giả sử hai đồ thị tiếp xúc nhau , chứng minh rằng tiếp điểm của chúng 
 thuộc thị hàm số y = x – x3
Bài 2 : (2 điểm ) 
 Biết rằng ph−ơng trình : 3 2 0+ + + =x x ax b có 3 nghiệm phân biệt . 
 Chứng minh rằng : a2 – 3b > 0 
Bài 3 : ( 5 điểm ) 
 1, Tìm m để hệ sau có nghiệm : 
5log ( 3)
4
2 2
2
1 log ( ) log ( 1)
+⎧ ≥⎪⎨ + − ≥⎪⎩
xx
m x x + 
 2, Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiệm : 
(2 1) 2 ( 2) 2 1 0− + + − − + − =m x m x m 
Bài 4 : ( 6 điểm) 
 1, Cho tam giác ABC với B (1 ; 2) , đ−ờng phân giác trong của góc A có 
 ph−ơng trình 2x + y + 1 = 0 (d) . Tìm toạ độ các đỉnh A và C biết rằng 
 khoảng cách từ C đến (d) bằng hai lần khoảng cách từ A đến (d) và C nằm 
 trên trục tung . 
 2, Cho A(0 ; 4) và B(-4 ; 0) . Xét đ−ờng thẳng Δ : ax + by + 2 = 0 ( a2 + b2 > 0) 
 luôn tiếp xúc với đ−ờng tròn : x2 + y2 = 16 . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng 
 khoảng cách từ A và B đến Δ 
Bài 5: (2 điểm) 
 Gọi xi là nghiệm của bất ph−ơng trình : 
 ( i = 2 2 ( 1)− + − ≤i ix a x a 2 0 1; ) và n 1 5, 1;2;...;2 ≤ ≤ =ia i n 
 Chứng minh rằng : 
2 2 2
1 2 1 2... ...1
2
+ + + + + +≤ +n nx x x x x
n n
x
 Sở giáo dục - đμo tạo 
 Thái bình 
 Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12
 Năm học 2008 - 2009 
 ***** 
 Đề chính thức 
 Môn thi : toán 
 ( Thời gian làm bài 180 phút ) 
 ******* 
Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com 
Bài 1 : ( 3 điểm) 
 1, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :
3y x 3 x 2 ( )= − − ξ 
 2, Gọi d là đ−ờng thẳng đi qua M(2 ; 0) và có hệ số góc k . Tìm k để đ−ờng thẳng 
 d cắt tại 4 điểm phân biệt. ( )ξ
Bài 2 : (4 điểm ) 
 1, Cho dãy (xn) xác định bởi :
+
=⎧⎪⎨ = +⎪ +⎩
1
n 1
n
x 1
2008
x 1
1 x
 với n 1≥
 Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn và tìm giới hạn đó . 
 2, Tìm m để ph−ơng trình : x y 2x(y 1) m 2+ + − + = có nghiệm . 
Bài 3 : ( 2 điểm ) 
 Cho 
1
a,b,c,d 1
4
< < . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
a b c d
1 1 1
F log (b ) log (c ) log (d ) log (a )
4 4 4
= − + − + − + − 1
4
Bài 4 : ( 3 điểm) 
 1, Giải ph−ơng trình : 2x x 2008 1 16064x 2008− − + = 
 2, Tìm nghiệm của ph−ơng trình 
cosx sin x cos2x 1 sin 2x 0− − + = thoả mãn 2008 < x < 2009 
Bài 5: (2 điểm) 
 Cho tam giác ABC biết A(1 ; -2), hai đ−ờng phân giác trong của góc B và C lần l−ợt 
 có ph−ơng trình là (d1) : 3x + y – 3 = 0 và (d2) : x – y – 1 = 0 . Lập ph−ơng trình các 
 cạnh của tam giác ABC. 
Bài 6: (4 điểm) 
 Cho một tam diện vuông Oxyz và một điểm A cố định bên trong tam diện . Gọi 
 khoảng cách từ A đến ba mặt phẳng Oyz , Ozx , Oxy lần l−ợt là a , b , c . Một mặt 
 phẳng ( ) qua A cắt Ox , Oy , Oz lần l−ợt tại M , N , P . α
 1, Chứng minh rằng 
a b c
1
OM ON OP
+ + = 
 2, Xác định vị trí của mặt phẳng (α ) để thể tích tứ diện OMNP đạt giá trị nhỏ nhất . 
 Khi thể tích tứ diện OMNP nhỏ nhất , hãy chỉ rõ vị trí điểm A . 
 3, Chứng minh rằng : ( 2 2 2 2MN NP PM) 6(OM ON OP )+ + ≤ + +
Bài 7: (2 điểm) 
 Cho ⎨ . Chứng minh rằng : 0 a b c d
bc ad
< ≤ ≤ ≤⎧
≤⎩
b c d a d c b aa .b .c .d a .d .c .b≥
 Tản mạn ! 
Cực đại ơi , cực tiểu ơi . 
Lơ lửng đâu đây giữa khoảng trời . 
Nằm về hai phía trục toạ độ . 
Biết đến bao giờ mới chụm đôi . 
 Đỗ Bá Chủ.