Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 năm học 2010 - 2011 môn: Toán (vòng 1)

SỞ GD-ĐT BÌNH PHƯỚC
————
Ngày thi: 08/10/2010
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2010-2011
Môn: TOÁN (Vòng 1)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu I. (5 điểm)
1. Cho hàm số y= x3− 3
2
mx2+
1
2
m3, m ∈ R
a) Khảo sát vẽ đồ thị của hàm số khi m= 1.
b) Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng
y= x.
2. Tìm tất cả các giá trị của a,b để phương trình
x2−2ax+b
bx2−2ax+1 = m
có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Câu II. (4 điểm)
1. Cho phương trình: 2cos2x+ sin2x.cosx+ sinx.cos2x= m(sinx+ cosx), với m là tham số.
a) Giải phương trình khi m= 2.
b) Tìm m để phương trình có nghiệmx ∈
[
0;
pi
2
]
.
2. Giải bất phương trình: √
x2−4x+3−√2x2−3x+1≥ x−1
Câu III. (3 điểm)
Giải hệ phương trình:
{
y+ xy2 =−6x
1+ x3y3 = 19x3
Câu IV. (5 điểm)
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Trên AB lấy điểm M, trên CC′ lấy điểm
N, trên D′A′ lấy điểm P sao cho AM =CN = D′P= x với (0≤ x≤ a) .
1. Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều.
Tính diện tích tam giác MNP theo a và x. Tìm x để diện tích ấy nhỏ nhất.
2. Khi x=
a
2
hãy tính thể tích khối tứ diện B′MNP và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Câu V. (3 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức
2xn
1+ xn+1
≤
(
1+ x
2
)n−1
≤ x
n−1
n(x−1)
trong đó x là số thực dương,x 6= 1;n ∈ N∗
———Hết ———