Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 năm học 2013 – 2014 môn thi: toán (thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÀ RỊA VŨNG TÀU
Đề thi chính thức
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
NĂM HỌC 2013 – 2014
MÔN THI: TOÁN
(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực
.
Câu 2. (4 điểm)
Cho dãy số  xác định bởi 
Chứng minh dãy số  có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 3. (4 điểm)
Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O). Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại điểm I. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm D (D khác A). Gọi M,K lần lượt là là trung điểm của BC và AD. Hai đường thẳng BK và AM lần lượt cắt (O) tại điểm thứ hai là E,F.
Chứng minh .
Chứng minh hai đường thẳng EF và AB song song với nhau.
Câu 4. (4 điểm)
Tìm tất cả các hàm số  thoả mãn điều kiện:
.
Câu 5. (4 điểm)
Người ta xếp 2014 bóng đèn đang bật sáng thành một hàng dài, từ trái sang phải. Hai người cùng thực hiện một trò chơi như sau: Lần lượt từng người chọn tuỳ ý 5 bóng đèn liên tiếp, trong đó bóng đèn đầu tiên bên trái trong 5 bóng đèn được chọn phải đang sáng và thay đổi trạng thái của 5 bóng đèn đó (từ sáng thành tắt và từ tắt thành sáng). Ai không thể thực hiện được nữa thì thua cuộc. Chứng minh rằng đến một lúc nào đó trò chơi phải kết thúc và dù cho có chơi như thế nào thì người đầu tiên luôn thua cuộc.