Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT cấp tỉnh Đồng Tháp năm học 2007-2008 môn thi: Toán

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
Đề chính thức
NĂM HỌC 2007-2008.
 Môn thi : Toán.
Ngày thi : 14/10/2007.
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể phát đề).
(Đề thi gồm có 01 trang).
 Bài 1: (5 điểm).
Tìm tất cả các số nguyên m sao cho phương trình x2 +(m2-m)x - m3+1= 0 có một 
 nghiệm nguyên .
 b) Giải bất phương trình
 Bài 2: (5 điểm).
Giải phương trình 4sin25x-4sin2x+2(sin6x+sin4x)+1=0
Cho các số thực x1,x2, ,xn thỏa mãn sin2x1+2sin2x2++nsin2xn= a ,với n là số nguyên 
dương , a là số thực cho trước , .Xác định các giá trị của x1,x2, ,xn 
sao cho tổng S= sin2x1+2sin2x2++nsin2xn đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất này theo a và n.
 Bài 3: (4 điểm).
Cho ba số thực a,b,c thỏa abc=1 .Chứng minh : 
b) Cho tam giác ABC nhọn thỏa điều kiện 
 Chứng minh rằng ABC là tam giác cân.
 Bài 4: (2 điểm).
Cho tam giác ABC ,trên các cạnh BC,CA,AB lần lượt lấy các điểm A’,B’,C’ sao cho AA’,BB’ và CC’ đồng qui tại điểm M.Gọi S1,S2 và S3 lần lượt là diện tích của các tam giác 
MBC,MCA ,MAB và đặt .
Chứng minh rằng: (y+z-1) S1+(x+z-1)S2 +(x+y-1)S3 =0
 Bài 5: (2 điểm).
Cho dãy {un} , n là số nguyên dương , xác định như sau : .
Tính un và chứng minh rằng u1+u2++ un .
 Bài 6: (2 điểm).
 Cho đa thức f(x)=x3+ax2+bx+b có ba nghiệm x1,x2,x3 và đa thức g(x)=x3+bx2+bx+a .Tính tổng S=g(x1)+g(x2)+g(x3) theo a,b. Hết.
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2007-2008.
 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀBIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN 
 Bài 1: (5 điểm).
Câu
Đáp án
Điểm
a)(3 điểm)
+ Biến đổi:
x(x+m2)-m(x+m2)=-1.
+ (x+m2)(x-m)=-1.
+ (a)
 hoặc
 (b)
+Giải (a) m=1 hoặc m=-2.
+Giải (b) vô nghiệm.
+Vậy m=1 hoặc m=-2.
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu
Đáp án
Điểm
b)(2 điểm)
+ Biến đổi:
 (1)
+Vì 
nên 
+ 
+Vậy 
0.5
0.5
0.5
0.5
 Bài 2: (5 điểm).
Câu
Đáp án
Điểm
a)(2 điểm)
+ Biến đổi 4sin25x+1-sin2x+4sin5xcosx=3sin2x 
 4sin25x+4sin5xcosx+cos2x=3sin2x 
 (2sin5x+cosx)2=3sin2x
 + 
+
+Vậy nghiệm hoặc hoặc
 Hoặc 
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu
Đáp án
Điểm
b)(3 điểm)
+ Biến đổi 
+Bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có:
+ 
 +
+Dấu = xãy ra khi 
 hay 
hay 
+ Vậy Max S=
 khi 
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
 Bài 3: (4 điểm).
Câu
Đáp án
Điểm
a)(2 điểm)
+
+
+
+ Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có
Suy ra đpcm
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu
Đáp án
Điểm
b)(2 điểm)
+Biến đổi ,ta có
+Biến đổi vế trái
+
+ Dấu = xãy ra khi cos(A-B)=1 hay A=B
vậy tam giác ABC cân tại C.
0.5
0.5
0.5
0.5
 Bài 4: (2 điểm).
Câu
Đáp án
Điểm
2 điểm
+ Gọi S là diện tích tam giác ABC,ta có
Ta có 
+Suy ra 
+Suy ra
+Tương tự 
vậy (y+z-1) s1+(x+z-1)s2 +(x+y-1)s3 =0
0.5
0.5
0.5
0.5
 Bài 5: (2 điểm).
Câu
Đáp án
Điểm
2 điểm
+Đặt 
ta có 
+Vì 
mà 
+ 
+ Suy ra đpcm
0.5
0.5
0.5
0.5
 Bài 6: (2 điểm).
Câu
Đáp án
Điểm
2 điểm
+Theo định lý Vi ét,ta có 
p1=x1+x2+x3=-a ; p2=x1x2+x2x3+x3x1=b, p3=x1x2x3=-b.
+Ta có 
+
+ 
0.5
0.5
0.5
0.5
Chú ý : học sinh có thể đưa ra phương án giải quyết vấn đề khác nếu kết quả 
 đúng ,hợp lô gíc khoa học vẫn cho điểm tối đa của phần đó.
Hết