Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT cấp tỉnh năm học 2009 - 2010 môn Toán

1SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP
Trường THPT Cao lónh 2
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009 - 2010
ĐỀ THI MễN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phỳt (khụng kể thời gian phỏt đề)
Ngày thi: 21 thỏng 9 năm 2009
(Đề thi gồm cú: 01 trang)
Cõu 1: (3.0 điểm)
1.1. Cho hàm số 1x
2xy 
 (C). Cho điểm A (0;a) .Xỏc định a đẻ từ A kẻ được hai tiếp tuyến
tới (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phớa trục ox.
1.2. Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn dương sau:
 36 3 2 2 2 215x z 3x z 5x z y y    
Cõu 2: (3.0 điểm)
2.1. Giải phương trỡnh: 2
sin
2sin
2sin
sin
2
2
2
2

x
x
x
x
2.2. Chứng minh rằng trong mọi tam giỏc ABC ta luụn cú:


 

 

 

  3
333
43
3
3
3
3
3
C
tgBtgAtgCtgBtgAtg
Cõu 3: (3.0 điểm)
3.1. Giải bất phương trỡnh: 113223 22  xxxxx
3.2. Tỡm m để phương trỡnh:  2m x 2x 2 1 x(2 x) 0 (2)      cú nghiệm x 0; 1 3   
Cõu 4: (3.0 điểm)
4.1. Cho đa thức P
 (x) = x
5
 + x4 – 9x3 + ax2 +bx + c.
Biết rằng P
 (x) chia hết cho (x - 2)(x + 2)(x + 3). Hóy tỡm đa thức ấy.
4.2. Cho dóy số (un) xỏc định bởi:







n
nn u
uu
u
.31
3
2
1
1
 với 1n
Xỏc định số hạng tổng quỏt (un) theo n.
Cõu 5: (3.0 điểm)
5.1. Cho tam giỏc ABC. Xột tập hợp gồm năm đường thẳng song song với AB, sỏu đường
thẳng song song với BC và bảy đường thẳng song song với CA. Hỏi cỏc đường thẳng này tạo ra bao
nhiờu hỡnh bỡnh hành, bao nhiờu hỡnh thang?
5.2. Với n là số nguyờn dương, chứng minh hệ thức:       nnnnnn CnCnCC 222221 2...2 
Cõu 6: (2.0 điểm)
Cho 

 3;
3
1
,, cba . Chứng minh rằng:
5
7 ac
c
cb
b
ba
a
Cõu 7: (3.0 điểm)
7.1. Trờn mặt phẳng với hệ trục toạ độ Đờcac vuụng gúc Oxy cho cỏc đường thẳng
03:;06:;043: 321  xdyxdyxd . Tỡm toạ độ cỏc đỉnh của hỡnh vuụng ABCD biết
rằng A và C thuộc d3, B thuộc d1, D thuộc d2.
7.2. Cho hỡnh chúp tam giỏc đều SABC cú đường cao SO = 1 và đỏy ABC cú cạnh bằng 62 .
Cỏc điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AC, AB. Tớnh thể tớch hỡnh chúp SAMN và bỏn
kớnh mặt cầu nội tiếp hỡnh chúp đú./.Hết.
2SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP
Trường THPT Cao lónh 2
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009 - 2010
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MễN: TOÁN
Ngày 21-9-2009
(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm cú trang)
Điểm Đỏp ỏn
3.0 Cõu 1
2.0 1.1. Phương trỡnh tiếp tuyến.
0.25 Phương trỡnh tiếp tuyến qua A (0;a) cú dạng y =kx+a (1)
0.25 Điều kiện cú hai tiếp tuyến qua A:







)3(k)1x(
3
)2(akx1x
2x
2
 cú nghiệm 1x 
0.25 Thay (3) vào (2) và rỳt gọn ta được: )4(02ax)2a(2x)1a( 2 
0.25 Để (4) cú 2 nghiệm 1x  là: 









2a
1a
06a3'
03)1(f
1a
0.25 Hoành độ tiếp điểm 21 x;x là nghiệm của (4) . Tung độ tiếp điểm là 1x
2xy
1
1
1 
 , 1x
2xy
2
2
2 

0.5 Để hai tiếp điểm nằm về hai phớa của trục ox là : 0)2x)(1x(
)2x)(2x(0y.y
21
21
21 

0.25
3
2a03
6a901)xx(xx
4)xx(2xx
2121
2121 


. Vậy 1a3
2  thoả món đkiện bài toỏn
1.0 1.2. Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn dương.
0.25      3 32 2 3 2 2(1) 5 3x z 5x y x y     
0.25 Áp Dụng BDT Cauchy cho 3 số ; ta đđược: VT VP . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 2 2 5x y z  
0.25 Từ phương trỡnh:   2 2 5 5x y x y x y     
0.25 Vậy nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh là:    , , 3, 2,9x y z 
3.0 Cõu 2
2.0 2.1. Giải phương trỡnh lượng giỏc.
0.5
2 2
2
2 2
sin 2 0
sin sin 2 2 sin sin 2
sin 2 sin 0
sin 2 sin
x
x xPT x x
x x
x x
        
1.0 hay














4
1
cos
02sin
2sinsin
02sin
2sinsin
02sin
22222 x
x
xx
x
xx
x .
0.5 Vậy






Zkkx
kx
,2
3
2
2
3


1.0 2.2. CMR
0.25 Từ 3333
ACB   , ta suy ra: tan tan
3 3 3 3
B C A           
30.25 Hay
3
3 3 3
1 . 1 3.
3 3 3
B C A
tg tg tg
B C A
tg tg tg
 

 
0.25 3 . .
3 3 3 3 3 3
A B C A B C
tg tg tg tg tg tg    
0.25 3 3 3 4 3
3 3 3 3 3 3
A B C A B C
tg tg tg tg tg tg                      
3.0 Cõu 3
1.5 3.1. Giải bất phương trỡnh: 113223 22  xxxxx
ĐS *BPT cú tập nghiệm S=(-;1/2] {1}
1.5 3.2. Tỡm tham số m.
ĐS Do đú, ycbt  bpt
2t 2m
t 1
  cú nghiệm t  [1,2]     t 1;2
2m maxg(t) g(2)
3
 Vậy m 2
3
3.0 Cõu 4
1.5 4.1. Tỡm đa thức.
ĐS Vậy đa thức phải tỡm là P
 (x) = x
5
 + x4 – 9x3 - x2 +20x - 12.
1.5 4.2. CMR
ĐS Suy ra:
61
32
3
tan
3
502tan
3
2007tan2008 


 

 

  u
3.0 Cõu 5
1.0 5.1.
0.5 Số hỡnh bỡnh hành là: 675... 272627252625  CCCCCC (hỡnh).
0.5 Số hỡnh thang là: 1575...... 151627171526171625  CCCCCCCCC (hỡnhh)
2.0 5.2. CMR
0.5 Đặt S là vế trỏi hệ thức cần chứng minh, lưu ý 10  nnn CC và knnkn CC 
0.5 Ta thấy:          1....2 2212221 nnnnnn CnCnCnCnS  
0.75
Từ       Rxxxx nnn  ,111 2 . So sỏnh hệ số của nx trong khai triển nhị thức Newton của
   nn xx  11 và   nx 21 ta suy ra:        2... 222221 nnnnnn CCCC 
0.25 Từ (1) và (2) cú đpcm.
2.0 Cõu 6
0.25 Đặt  
ac
c
cb
b
ba
a
cbaF ,, Giả sử  cbaa ,,max .
0.5 Ta cú:            
2
2
, , , , 0 1
a b ab ca b c bF a b c F a b ab
a b b c c a a b a c b c a b
             
0.5 Để ý rằng   57
1
2
1
1
5
7
,, 




b
a
a
babbaF
. Đặt 3
b
a
x , ta thấy
0.5       2 221 2 7 2 7 10 3 2 1 1 0 25 1 1 5 21 1
x
x xb x xa
a b
            
0.25
BĐT ( 2) đỳng, từ (1), (2) cú bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
  


3
1
;1;3,, cba và cỏc hoỏn vị.
3.0 Cõu 7
41.5 7.1. Tỡm tọa độ.
0.5 Ta cú:   21 6;;)43;( dddDdbbB  . Vỡ OydCA //, 3 nờn B và D đối xứng nhau qua d3
0.5 Suy ra 







4
2
643
6
d
b
db
db . Do đú B (2; 2), D(4;2), dẫn tới tõm hỡnh vuụng ABCD là I (3; 2).
0.25 Mặt khỏc 3);3( daA  và 22 IBIA  nờn   312 2  aa hoặc a = 1.
0.25 Bài toỏn cú hai nghiệm hỡnh: (3;3), (2; 2), (1;3), (4; 2); (1;3), (2; 2), (3;3), (4; 2)A B C D A B C D .
1.5 7.2. Tớnh thể tớch và tỡm bỏn kớnh mặt cầu nội tiếp.
0.5 * Ta cú:
2
3
.
3
1  AMNSAMN SSOV
0.5 * Gọi r là bỏn kớnh mặt cầu nội tiếp hỡnh chúp SAMN. Sử dụng cụng thức:
0.5  SMNASNAMNSAMN SSSrS  3
1 , ta tớnh được:
224
3

r
Chỳ ý: Nếu học sinh cú hướng giải quyết khỏc mà đỳng và hợp lụgớch thỡ vẫn chấm
điểm tối đa như hướng dẫn này. Sai phần trờn thỡ khụng chấm phần dưới.