Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT cấp tỉnh năm học 2009 - 2010 môn Toán học

1SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP
Trường THPT Cao lónh 2
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009 - 2010
ĐỀ THI MễN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phỳt (khụng kể thời gian phỏt đề)
Ngày thi: 20 thỏng 9 năm 2009 (buổi chiều)
(Đề thi gồm cú: 01 trang)
Cõu 1: (4.0 điểm)
1.1. Cho hàm số: mxmxmxy 2)32()3( 23  . Tỡm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành
tại 3 điểm phõn biệt cú hoành độ lập thành một cấp số cộng theo một thứ tự nào đú.
1.2. Cho hàm số
cos cos3 1 0( )
0 0
x xe khi xf x x
khi x
    
. Tớnh đạo hàm của hàm số tại x = 0
Cõu 2: (3.0 điểm)
2.1. Giải phương trỡnh lượng giỏc:
2
13sin.2sin.sin3cos.2cos.cos  xxxxxx .
2.2. Giải hệ phương trình:   
 

xyyy
yxxx
23
23
21
21
Cõu 3: (2.0 điểm)
3.1. Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn: 2 2 2 28 2x y x y xy   (1)
3.2. Hàm y f(x) xỏc định và cú đạo hàm trờn toàn trục số, thỏa món điều kiện:
2 3f (1 2x) x f (1 x), x R      (*)
Hóy viết phương trỡnh tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y f(x) tại điểm cú hoành độ x 1
Cõu 4: (3.0 điểm)
4.1. Tỡm giới hạn: 


 31
3
1
1lim
xxx
4.2. Cho dóy số ( Un) cú số hạng tổng quỏt  3 5195 116( 1)
n
nn
n n
C
u C n N
n

    . Tỡm cỏc số hạng
dương của dóy.
Cõu 5: (2.0 điểm)
Cho  43 4( ) 1f x x x x    . Sau khi khai triển và rỳt gọn ta được:
16
16
2
210 ...)( xaxaxaaxf  . Hóy tớnh giỏ trị của hệ số 10a .
Cõu 6: (2.0 điểm)
Cho x, y, z là cỏc số thực thoả món cỏc điều kiện sau: 04,01,01,0  zyxzyx
. Hóy tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức:
411  z
z
y
y
x
xQ .
Cõu 7: (4.0 điểm)
7.1. Cho đường thẳng ( d): 022  yx và hai điểm A ( 0; 1), B( 3; 4). Hóy tỡm toạ độ điểm
M trờn ( d) sao cho 222 MBMA  cú giỏ trị nhỏ nhất.
7.2. Cho hỡnh chúp S. ABCD cú đỏy ABCD là nửa lục giỏc đều nội tiếp đường trũn đường kớnh
AD = 2a. SA vuụng gúc với mp’ ( ABCD ) và SA = a 6 .
1. Tớnh khoảng cỏch từ A và B đến mp’ ( SCD ).
2. Tớnh diện tớch của thiết diện của hỡnh chúp S.ABCD với mp’( ) song song với mp’( SAD) và
cỏch mp’(SAD) một khoảng bằng
4
3a
./.Hết.
2SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP
Trường THPT Cao lónh 2
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009 - 2010
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MễN: TOÁN
(Buổi chiều: Ngày 20-9-2009)
(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm cú 04 trang)
Điểm Đỏp ỏn
4.0 Cõu 1
2.0 1.1. Tỡm điểm M trờn đồ thị (C) sao cho 
0.5
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của PT:
3 2( 3) (2 3 ) 2 0x m x m x m     
0.5 1 2 31, 2 ,x x x m   
0.5
Ba hoành độ này lập thành một cấp số cộng theo một thứ tự nào đú thỡ ta cú hệ phương trỡnh:

















0
3
2
3
2
2
2
132
231
321
m
m
m
xxx
xxx
xxx
0.5 Vậy với 3 ; 3; 0
2
m m m   thỏa yờu cầu bài toỏn.
2.0 1.2. Tớnh đạo hàm của hàm số tại x = 0
0.5 Ta cú: 2
3coscos
02
3coscos
00
3cos3cos
.
3coscos
1lim1lim
0
)0()(lim)0('
x
xx
xx
e
x
e
x
fxff
xx
x
xx
xx








.
0.5 Ta lại cú:
cos cos3
0 0
1 1lim lim 1
cos cos3
x x t
x t
e e
x x t

 
  
0.5 2 20 0 0
cos cos3 2sin 2 sin sin 2 sinlim lim lim 4 . 4
2x x x
x x x x x x
x x x x  
   
0.5 Vậy f’ ( 0) = 4.
3.0 Cõu 2
1.5 2.1. Giải phương trỡnh lượng giỏc.
Đs
*  Zkkxkxx 
312
22
2
4 
*  Zkkxkxx  
4
2
2
24
Vậy PT đó cho cú 3 họ nghiệm.
1.5 2.2. Giải hệ phương trỡnh.
Đs Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm ( x; y) là:   


 



 
2
51
;
2
51
;
2
51
;
2
51
;1;1 .
2.0 Cõu 3
1.0 3.1. Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn.
Dễ thấy pt cú nghiệm: x = y = 0.
Đs *Thay x = 4 vào (2) ta được y = -1, y = 2. *Thay x = -4 vào (2) ta được y = 1, y = -2.
Vậy PT cú cỏc nghiệm nguyờn (x; y) là: (0;0), (4; -1), (4;2), (-4;1), (-4;2).
1.0 3.2. Tỡm phương trỡnh tiếp tuyến.
ĐS
Vỡ f(1) 0 nờn f(1) 1  . Suy ra 1f '(1) 7  . Do đú phương trỡnh tiếp tuyến cú dạng;
1y (x 1) 1 x 7y 6 07       
3.0 Cõu 4
Giỏo viờn dạy: Phan Hữu Thanh 3
1.5 4.1. Tỡm giới hạn.
Vậy  2;1n . Từ đú tỡm được
8
45
,
8
75
21  uu
2.0 Cõu 5: Tỡm giỏ trị của hệ số 10a .
Vậy 226.14.4. 2444341410  CCCCa
2.0 Cõu 6: Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức.
Vậy 1;
2
13;
2
3
;
3
1
max  zyxcbacbabaQ
4.0 Cõu 7:
2.0 7.1. Tỡm tọa độ điểm M.
M ( 2; 0).
2.0 7.2. Tớnh khoảng cỏch và diện tớch thiết diện.
1.0 1. Tớnh khoảng cỏch.
0.25
 d(B,(SCD)) = d(I,(SCD)) =
2
2))(,(
2
1 aSCDAd 
1.0 2. Tớnh diện tớch thiết diện.
+ Thiết diện là hỡnh thang vuụng ( MN // PQ, MQ  MN )
 S =
2
1 (MN + PQ).MQ. MN =
2
,
2
6
,
2
3 aPQaMQa  . Vậy: S =
2
62a
Chỳ ý: Nếu học sinh cú hướng giải quyết khỏc mà đỳng và hợp lụgớch thỡ vẫn chấm
điểm tối đa như hướng dẫn này. Sai phần trờn thỡ khụng chấm phần dưới.