Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT cấp tỉnh năm học 2012 - 2013 môn Toán

Sở giáo dục và đào tạo kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt cấp tỉnh 
 phú thọ Năm học 2012-2013 
 Môn Toán 
 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề 
 Đề thi có 01 trang 
 ------------------------------------------------------------------ 
Câu 1 (5,0 điểm) 
a) Giải ph−ơng trình: 
 x2-3x+14 = 4 3 8x − . 
b) Giải hệ ph−ơng trình: 
3 2 6 4
2
( , )
3 6 2 7 6
x xy y y
x y R
x y
 + = +
∈
+ + + =
Câu 2 (4,0 điểm) 
 Cho x, y, z là các số thực d−ơng thay đổi thỏa mãn x+y+z = 3. Tìm GTLN của biểu 
thức: P = 
3 4 2 3 4 2 3 4 2
xy yz zx
x y z y z x z x y
+ +
+ + + + + +
. 
Câu 3 (4,0 điểm) 
 Cho dãy số (xn ) xác định bởi: 
1
2
1
3
1 2
2
n
n n
x
x x −+
=


= +
 , n = 1,2,3,. 
a) Tìm tất cả các số hạng là số nguyên trong dãy số trên. 
b) Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy (xn) 
Câu 4 (5,0 điểm) 
 Cho đ−ờng tròn tâm O và một dây cung AB không đi qua O. C là điểm chính giữa 
cung nhỏ AB, D là một điểm nằm ngoài đ−ờng tròn (O), sao cho D và C nằm khác phía đối 
với đ−ờng thẳng AB. Qua D kẻ kẻ tiếp tuyến DT với đ−ờng tròn (O) , T là tiếp điểm. CT cắt 
AB tại E. Đ−ờng thẳng qua E vuông góc với AB cắt OT tại I. Một đ−ờng thẳng thay đổi qua 
D cắt đ−ờng tròn (O) tại M và N(M nằm giữa D và N), CM cắt AB tại P. 
a) Chứng minh rằng đ−ờng tròn tâm I bán kính IE tiếp xúc trong với đ−ờng tròn (O) 
 và tứ giác ETMP nội tiếp một đ−ờng tròn. 
b) Qua D kẻ tiếp tuyến thứ hai DS với đ−ờng tròn (O), S là tiếp điểm, CS cắt AB tại 
F. Đ−ờng thẳng qua F vuông góc với AB cắt OS tại J. Gọi K là tâm đ−ờng tròn ngoại 
tiếp tam giác MNP. Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng. 
Câu 5 (2,0 điểm) 
 Trong mặt phẳng cho n điểm (n ≥ 5) sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Kí 
hiệu S(n) là số tam giác có ba đỉnh là ba trong số n điểm nói trên thỏa mãn điều kiện bên 
trong tam giác đó có chứa ít nhất một điểm trong số n - 3 điểm còn lại. Chứng minh rằng, 
nếu S(n) ≤ n - 4 thì S(n) = 0. 
-----------------------------------Hết--------------------------------------- 
Họ và tên thí sinh:........................................................................SBD:............................ 
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.