Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT năm học 2001 - 2002 đề thi môn: Toán

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
..............................
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2001-2002
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
-----------------------------------------
Câu 1. Cho hpt (với m là tham số).
a) Giải hệ với m=1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ chỉ có nghiệm dạng 
Câu 2. Tìm số p lớn nhất sao cho 
Câu 3. Cho tứ diện ABCD vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (BCD), cho AH=h. Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm H lên các đường thẳng .
a) Cmr cùng thuộc một mặt cầu (S). Giải sử là tam giác đều cạnh a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) theo h.
b) Cho A,H cố định còn B,C,D thay đổi. Cmr (S) luôn đi qua hai điểm P,Q cố định, chỉ rõ cách xác định hai điểm P,Q.
Câu 4. Cho là hai đa thức bậc hai với hệ số nguyên dương, mỗi đa thức đều có nghiệm nhưng chúng không có nghiệm chung. Với mỗi số tự nhiên n (n=0,1,2,...), gọi là ước chung lớn nhất của Cmr dãy là một dãy bị chặn. 
Câu 5. Hãy xác định tất cả các hàm số thỏa mãn hai điều kiện sau:
-------------------------Hết-----------------------------
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: SBD: 
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
..............................
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2002-2003
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
-----------------------------------------
Câu 1. Cho bpt 
a. Gbpt với 	b. Tìm GTLN của m để bpt đã cho nghiệm đúng với mọi x.
Câu 2. Cho hệ phương trình 
a) G/sử là nghiệm của hệ. Chứng tỏ rằng 
b) Giải hpt.
Câu 3. Cho Cmr:
Câu 4. Cho G/sử h/số xác định trên tập số nguyên và thỏa mãn hệ điều kiện 
a) Cho Cmr 
b) Tìm tất cả các giá trị của h/s 
Câu 5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Gọi F là giao điểm hai đường chéo AC,BD. E là giao điểm AD, BC. M,N lần lượt là trung điểm AB, CD. Cmr 
-------------------------Hết-----------------------------
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: SBD: 
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
..............................
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2004-2005
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
-----------------------------------------
Câu 1. Cho h/s 
a. Tìm Max, min của h/s khi m=1.
b. Tìm các giá trị của m để h/s đạt cực trị tại 
Câu 2. Giải hpt 
Câu 3. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1 và có một góc không nhỏ hơn 90
a. Tính diện tích của tam giác khi A=90, B=30
b. Tim diện tích lớn nhất của tam giác ABC
Câu 4. Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC tương ứng lấy các điểm D,E,F không trùng với các đỉnh của tam giác s/c các đoạn thẳng AE, BF, CD không đồng qui. Gọi Giả sử 4 tam giác ADR, BEQ, CFD, PQR đều có diện tích bằng 1. 
a. Cmr 
b. Cmr các tứ giác DRQB, EQPC, FPRA có diện tích bằng nhau và tính diện tích của chúng.
Câu 5. Tìm tất cả các đa thức bậc n với hệ số thực, có nghiệm thực và t/m điều kiện 
-------------------------Hết-----------------------------
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: SBD: 
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
..............................
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2005-2006
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
-----------------------------------------
Câu 1. Giải các phương trình sau
a. 	b. 
Câu 2. 
a. Xác định k lớn nhất để Bpt sau đúng với mọi x thuộ đoạn [0;1]: 
b. Tìm Max, min của h/s: 
Câu 3. Cho tam giác ABC có đường cao CH. Gọi I, K lần lượt là trung điểm các đoạn AB, CH. Một đường thẳng (d) di động luôn song song với cạnh AB cát AC tại M và cắt BC tại N. Dựng hcn MNPQ với P,Q thuộc AB. J là tâm hcn MNPQ. Cmr I, J, K thẳng hàng.
Câu 4. Cho . Cmr .
Câu 5. Xét các tam thức bậc hai thỏa mãn điều kiện: 
Tìm GTLN của biểu thức .
-------------------------Hết-----------------------------
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: SBD: 
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
..............................
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2006-2007
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
-----------------------------------------
Câu 1. Gpt: 
Câu 2. Gbpt:
Câu 3. Tìm m để hệ sau có nghiệm và giải hệ với giá trị tìm được của m:
Câu 4. Cho các số dương a, b,c t/m: a+b+c=1. Tìm GTLN của biểu thức 
 .
Câu 5. Cho a,b,c>0. Cmr: 
Còn một bài hình...
-------------------------Hết-----------------------------
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: SBD: 
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
..............................
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2007-2008
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
-----------------------------------------
Câu 1. Ghpt:
Câu 2. Gpt 
Câu 3. Tìm tất cả các cặp số thực (a;b) để với mọi ta có 
Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy bằng 2, chiều cao h. Gọi C1(O;r) là hình cầu nội tiếp C2(K;R) là hình cầu tiếp xúc với 8 cạnh của hình chóp. Biết O, K cách đều mp (ABCD).
a. Cmr 
b. Tìm h và suy ra thể tích hình chóp
Câu 5. Cho f là h/s liên tục trên [0;1] t/m . Cmr với bất kì số nguyên dương n nào cũng tồn tại một số thực 
-------------------------Hết-----------------------------
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: SBD: 
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
..............................
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2008-2009
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
-----------------------------------------
Câu 1. Giải phương trình: 
Câu 2. Giải hệ phương trình: .
Câu 3. Tìm tất cả các số thực sao cho phương trình:
 	 thỏa mãn với mọi 
Câu 4. Cho tam giác đều ABC có diện tích bằng 7. Các điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho AN=BM. Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng BN và CM. Biết diện tích tam giác BOC bằng 2.
	a. Tính tỷ số 
	b. Tính góc 
Câu 5. Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 biểu thức:
-----------------------------------Hết-----------------------------------------
Chú ý: Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.................................................................................... SBD:..................................
LỜI GIẢI VẮN TẮT
Câu 1. 
*) Cách 1. (ngắn nhất) Nhận xét . 
Đặt . Vậy 
*) Cách 2. Vì , nên bình phương hai vế...
*) Cách 3. Đạo hàm, khảo sát... (dài)
Câu 2. (Hệ đẳng cấp bậc 2, xét 2 trường hợp âm, dương – bằng 0 không thỏa mãn). Sử dụng phương pháp thế biểu thức,.....
Câu 3. Điều kiện cần.
+ Cho x=0 được: .
+ Cho , phương trình đã cho có vế trái không dương, vế phải không âm, điều đó cho ta hai phương trình: 
Thế a, q vào phương trình đã cho ta được: 
Trong (4), cho x=1 ta được . 
Từ (1) và (5) ta suy ra: Từ đó suy ra 2 cặp giá trị của a, b là 
Điều kiện đủ. Thay vào sẽ thấy hiển nhiên.
Câu 5. Xét 
Vậy 
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu 1. Cho hàm số ( là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số xác định với mọi .
Câu 2. Giải phương trình: 
Câu 3. Giải hệ phương trình: 
Câu 4. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Hai điểm M, N lần lượt di chuyển trên cạnh AD và DC sao cho với và (kí hiệu là góc).
Chứng minh rằng .
Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác BMN.
Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ sau có nghiệm thực:
Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 trong đó a là tham số thực và .
-------------------------Hết-----------------------------
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: SBD: 
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu 1.(2,5 điểm) Giải phương trình .
Câu 2.(2,0 điểm) Giải hệ phương trình 
Câu 3.(1,5 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên 
Câu 4.(2,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=b. Gọi M là trung điểm SD, N là trung điểm AD.
	a) Chứng minh rằng 
	b) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B, M và cắt (SAC) theo một đường thẳng vuông góc với đường thẳng BM. Tính khoảng cách từ S đến (P) theo a và b. 
Câu 5.(1,5 điểm) Cho Tìm GTLN của biểu thức:
	-------------------------Hết-----------------------------
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: SBD: 
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT không chuyên)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu 1 (2 điểm). Giải hệ phương trình
Câu 2 (2.5 điểm).
Tìm phương trình của tất cả các đường thẳng tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số tại đúng hai điểm phân biệt.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho phương trình sau có nghiệm thực
Câu 3 (3 điểm).
Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại với . Gọi là trung điểm cạnh , là giao điểm của các đường thẳng và . Tính thể tích của khối tứ diện và khoảng cách từ tới mặt phẳng .
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc cho tam giác và đường thẳng có phương trình . Giả sử theo thứ tự là chân đường cao kẻ từ chân đường cao kẻ từ và trung điểm cạnh Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết rằng trung điểm của cạnh nằm trên đường thẳng và điểm có hoành độ lớn hơn 2.
Câu 4 (1.5 điểm). Cho các số thực với và đa thức có ba nghiệm âm phân biệt. Chứng minh rằng 
Câu 5 (1 điểm). Tìm số các cặp sắp thứ tự hai tập con của tập hợp sao cho số phần tử của tập hợp là chẵn.
¾ Hết ¾
Họ và tên thí sinh . SBD .
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi.