Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 trường THPT Cẩm Thuỷ 3 năm học: 2008 – 2009. môn thi: Toán

 Sở GD&ĐT Thanh hoá Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12
Trường THPT Cẩm Thuỷ 3 Năm học: 2008 – 2009.
Họ tên:.
SBD: :...
 Môn thi: Toán - Thời gian: 180 phút 
Cõu 1 (5.0 điểm): 
 1) Khảo sỏt hàm số .
 2) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trỡnh 
Câu 2 (2.0 điểm): 
 Giải hệ phương trình:
Câu 3(2.0 điểm): 
 Tìm số nguyên dương n sao cho:
 .
Câu 4(2.0 điểm): 
 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định.
Câu 5(2.0 điểm): 
 Giải phương trình:
Câu 6(6.0 điểm): 
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung 
 điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AK và cắt các cạnh SB , SD lần lượt tại 
 M và N. Đặt V1= VS.AMKN , V = VS.ABCD.
Khi mp(P)//BD, hãy tính tỷ số thể tích .
Đặt x = , y= . Tính theo x và y.
Chứng minh rằng: 
Câu 7(1.0 điểm): 
 Cho n là số nguyên dương lẻ và n3, 
 Chứng minh rằng:< 1
Hết 
Sở GD&ĐT Thanh hoá hướng dẫn chấm 
Trường THPT Cẩm Thuỷ 3 Thi chọn HSG Năm học: 2008 – 2009.
 Môn thi: Toán 
Câu
Nội dung
Điểm
1.1
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
 3 
* TXĐ: R
* Giới hạn: 
*Bảng biến thiên:
 y’ = 2(x+1)(2-x) – (x+1)2 = (x+1)(3-3x)
 y’ = 0 
x
- -1 1 +
y’
 - 0	 + 0 -
y
+4
0
-
y
*Vẽ đồ thị:
 y’’= - 6x; y’’= 0 x = 0y = 2.
 4
 Đồ thị nhận I(0; 2) làm tâm đối xứng.
Giao với Ox: (-1; 0) và (2 ; 0).
 -2
 1
 2
 2
-1
x
O
0.5
0.5
0.5
0.5
1.2
Biện luận số nghiệm của phương trình
 2
 Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị trên và đường thẳng y = (m +1)2(2 – m)
Dựa vào đồ thị ta có:
Khi (m +1)2(2 - m) > 4m < -2 thì có 1nghiệm.
Khi (m +1)2(2 - m) = 4m = -2 hoặc m =1 thì có 2 nghiệm.
Khi thì phương trình có 4 nghiệm.
Khi (m +1)2(2 - m) = 0m = -1 hoặc m = 2 thì có 2 nghiệm.
Khi (m +1)2(2 - m) 2 thì có 1nghiệm.
0.5
0.25
0.5
0.25
0.5
2
Giải hệ phương trình
2.0
Đặt , Điều kiện: .
Tacó hệ 
Suy ra các nghiệm là:
0.5
0.5
0.5
0.5
3
Tìm số nguyên dương n
2
Xét hàm số:
=.
Ta có =
=.
Do đó 
=
Suy ra:
2n + 1 = 2009
 n = 1004
0.5
0.5
0.5
0.5
4
Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định.
2
Đặt t2 = -x2 + 2x + 24
Do suy ra 
Khi đó ta có bất phương trình:
 t2 + t – 24 m.(*)
Xét hàm số trên đoạn [0 ; 5].
Có bảng biến thiên:
 t
0 5
g’(t)
 +
g(t)
	2
-24
Để bpt đã cho nghiệm đúng mọi x thuộc TXĐ thì bpt (*) phải nghiệm đúng với mọi t thoả mãn. 
Từ bảng biến thiên suy ra: .
0.5
0.5
0.5
0.5
5
Giải phương trình:
 (*)
2
(*)(sinx - cosx)[2 +2(sinx+ cosx) + sinxcosx] = 0
 GiảI (2): Đặt .
Tacó t2 + 4t +3 = 0t = -1 v t = -3(loại)
Với t = -1 
0.5
0.5
0.5
0.5
6.1
Khi mp(P)//BD, hãy tính tỷ số thể tích .
2
S
C
A
B
D
N
K
M
O
I
Gọi O là giao điểm của 2đường chéo.
I là giao điểm của AK và SO.
Do (P)//BD, qua I kẻ đường song song với 
BD cắt SB và SD tại M và M. 
Trong tam giác SAC có I là trọng tâm
Suy ra:
 ; .
Vì SABCD là hbh nên Vs.ABC = Vs.ADC =V.
Ta có 
Tương tự ta có 
Mà V = Vs.ABC + Vs.ADC và V1 = VS.AMK+ VS.ANK
Suy ra 
0.5
0.5
0.5
0.5
6.2
Đặt x = , y= . Tính theo x và y.
2
Ta có 
Tương tự ta có 
Suy ra (1)
1.0
0.5
0.5
6.3
Chứng minh rằng: 
2
Do V1 = VS.AMN+ VS.MNK và Vs.ABC = Vs.ADC =V
Mà 
Suy ra (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Do x>0; y> 0 nên x>
Vì . Vậy ta có 
Xét hàm số f(x) = = với .
Có f’(x) = .
BBT: 
 x
 1
f’(x)
- 0 +
f(x)
Từ BBT suy ra	
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
7
 Cho n là số nguyên dương lẻ và n3, 
 Chứng minh rằng:
< 1
1
 Đặt F(x) = và G(x) = 
Ta có: F’(x) = = F(x) - 
 G’(x) = = 
Đặt f(x) = F(x). G(x).
f’(x) = F’(x).G(x) + F(x).G’(x)
 = [F(x) - ].G(x)+ F(x). [- G(x) - ]
 =- [F(x)+G(x)]
 =- 2
Do n lẻ nên với mọi x khác 0 ta có: 
>0
Suy ra bảng biến thiên:
 x
 0 
f’(x)
+ 0 -
f(x)
	1
Từ BBT suy ra f(x)< 1 , suy ra (đpcm)
0,25
0.25
0.25
0,25