Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 trường THPT Tùng Thiện năm học 2008 - 2009 môn Toán – hệ phổ thông

Đề 1:
 Sở gd&đt hà nội 	 đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 
 trường THPT Tùng thiện	 Năm học 2008 - 2009 
 Môn toán – hệ phổ thông
 Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I (4 điểm)
Chứng minh rằng x0 là nghiệm của phương trình: x3 + ax2 + bx + c = 0 thì ta có bất đẳng thức a2 + b2 + c2 .
Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ.
Câu II (4 điểm)
	Cho dãy số n = 1, 2, 3, . xác định như sau:
	Tìm 
Câu III (4 điểm)
	Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều nếu có:
 ( trong đó a, b, c là các cạnh; A, B, C là các góc, và p là nửa chu vi của tam giác)
Câu IV (8 điểm)
Một hình chữ nhật HOMF có HO = 11 và OM = 5. Một tam giác ABC nhận điểm H làm trực tâm, O làm tâm đường tròn ngoại tiếp, M là trung điểm của BC và F là chân đường cao kẻ từ A. Tính độ dài đoạn BC.
2) Cho hai hình chữ nhật ABCD (AC là đường chéo) và ABEF ( AE là đường chéo) không cùng nằm trong một mặt phẳng và thoả mãn các điều kiện: AB = a, AD = AF = ; đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng BF. Gọi HK là đường vuông góc chung của AC và BF (H thuộc AC, K thuộc BF). Tính độ dài đoạn HK.
Sở gd_đt hà nội
Trường thpt tùng thiện
đáp án đề thi chọn hs giỏi, năm học 2008 – 2009
Môn toán _ Khối 12
Câu
Đáp án
Điểm
CâuI
 4 đ 
1)
2đ
1) Ta có: (1)
Đặt a1 = a, a2 = b, a3 = c, 
Theo bđt Bunhiacopski ta có:
0.75
Do từ (1) và chú ý , ta có
0.5
Suy ra: 
0.5
Kết luận
0.25
2)
2đ
2) Xét số có 5 chữ số là a = , để a có tổng các chữ số là một số lẻ có 2 khả năng xẩy ra:
* Nếu ( a1 + a2 + a3 + a4 ) chẵn thì 
* Nếu ( a1 + a2 + a3 + a4 ) lẻ thì 
0.75
Mặt khác, số các chữ số có 4 chữ số bằng 9.10.10.10 = 9.103 và mỗi số đó sinh 5 số có 5 chữ số mà tổng các chữ số là 1 số lẻ.
0.75
Vậy có tất cả 5.9.103 = 45000 số
0.5
Câu II
4đ
Ta có: 
1.5
Lần lượt cho n = 1, 2, 3, , k rồi cộng k đẳng thức trên ta được: 
1
Mặt khác với dãy đơn điệu tăng
 1 = u1< u2< u3<  < un< un+1 
Nếu dãy bị chặn trên thì tồn tại giới hạn bằng a
Ta có 
Ta có phương trình a = a+, vô lý vì u1 = 1
Vậy không bị chặn trên 
1
Từ đó ta có 
0.5
Câu III
4đ
Biến đổi đẳng thức về dạng:
0.5
1.5
Có đẳng thức khi a + b = b + c = c + a hay a = b = c.
1.5
Suy ra VT = VP khi và chỉ khi A = B = C
Vậy tam giác ABC là tam giác đều.
0.5
CâuIV
8 đ
1)
4 đ
Trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên đường thẳng HO 
(đường thẳng Euler), và trọng tâm này cũng nằm trên AM 
0.5
HG // FM 
1
C/m được các tam giác vuông BFH và AFC đồng dạng (dựa vào các tam giác vuông)
1
Suy ra 
0.5
Ta lại có: BC2 = ( BF + FC )2 = ( BF – FC )2 + 4.BF.FC
Nhưng BF – FC = BM – MF – MF – MC = -2MF = -22
Do đó BC = 
1
2)
4đ
0.5
Do giả thiết AC vuông góc với BF nên mặt phẳng qua BF cắt vuông góc đường thẳng AC tại điểm H cần tìm. Vậy H là hình chiếu vuông góc của B xuống đường thẳng AC.
0.5
Đường thẳng BH cắt AD tại J thì các tam giác ABJ, BCA đồng dạng nên: 
Vậy J là trung điểm của AD và H là trọng tâm tam giác ABD
Có BJ2 = BA2 + AJ2 = nên 
1
Vì FJ vuông góc với AC (do AC vuông góc với mp(BFJ) ) và vuông góc với AB nên FJ vuông góc với AD; vậy AFD là tam giác đều ( AD = AF = FD ) và FJ = 
Do BJ = FJ , BJ vuông góc với FJ nên BFJ vuông cân tại J.
1
Điểm K cần tìm là hình chiếu vuông góc của H xuống BF nên từ đó có tam giác BHK vuông cân tại K 
1
Chú ý: Bài này có thể làm bằng phương pháp toạ độ, đúng cho điểm tối đa.
Người ra đề: Nguyễn Thị Vân.
Đề 2: 
 Sở gd&đt hà nội 	 đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 
 trường THPT Tùng thiện	 Năm học 2008 - 2009 
 Môn toán – hệ phổ thông
 Thời gian làm bài: 180 phút	
Câu I (6 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 1 số 
nn – n2 + n – 1 chia hết cho ( n – 1 )2 . 
Giải phương trình: x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y2 với các số nguyên.
Câu II (3 điểm)
	Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n tuỳ ý, ta có:
Câu III (3 điểm)
	Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC nhọn ta có:
	Dấu bằng xẩy ra khi nào ? ( trong đó A, B, C là các góc của tam giác).
Câu IV (8 điểm)
Giả sử O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D là trung điểm cạnh AB, còn E là giao điểm các đường trung tuyến của tam giác ACD. Chứng minh rằng nếu AB = AC thì OE vuông góc với CD.
Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = a, AD = b. Tia Ax và tia Cy cùng vuông góc với mặt phẳng (P) và cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AC. Lấy điểm M bất kỳ thuộc tia Ax và chọn điểm N thuộc tia Cy sao cho mặt phẳng (BDM) vuông góc với mặt phẳng (BDN). Tính AM.CN theo a, b. 
Duyệt của tổ trưởng	Sơn Tây, ngày 20 – 9 – 2008
	Người ra đề
	 Nguyễn Thị Vân.	
Sở gd_đt hà nội
Trường thpt tùng thiện
đáp án đề thi chọn hs giỏi, năm học 2008 – 2009
Môn toán _ Khối 12
Câu
Đáp án
Điểm
CâuI
 4 đ 
1)
3đ
Giả sử n > 2, ta có:
nn – n2 + n – 1 = ( nn-2 -1)n2 + ( n – 1 )
 = (n – 1)(nn-3 + nn-4 +  + 1)n2 + (n – 1)n0
 = ( n – 1)( nn-1 + nn-2 +  + n2 + n0) 
1
Với mỗi giá trị k = 0, 2,  , n-1 ta có
 nk – 1 chia hết cho (n – 1)
Suy ra: nn-1 + nn-2 +  + n2 + n0 chia hết cho (n – 1)
 ( có n – 1 số hạng)
Do đó số: ( n – 1)( nn-1 + nn-2 +  + n2 + n0) chia hết cho 
(n – 1)2
1.5
Với n = 2 số nn – n2 + n – 1 = 1 cũng chia hết cho (n – 1)2 = 1
Vậy với mọi số nguyên n > 1 số nn – n2 + n – 1 chia hết cho 
( n – 1 )2 .
0.5
2)
3đ
Giả sử x, y thuộc Z thoả mãn phương trình, khi đó:
 y2 = (x(x + 8)).((x + 1)(x + 7)) = (x2 + 8x)(x2 + 8x + 7)
 = t(t +7) = t2 + 7t
Với t = x2 + 8x.
0.75
Nếu t > 9 thì 
(t + 3)2 = t2 + 6t + 9 < t2 + 7t = y2 < t2 + 8t +16 = (t + 4)2 
nghĩa là y2 nằm giữa hai số chính phương liên tiếp, điều này không thể xẩy ra.
Do đó: x2 + 8x 9 , từ đó -9 x 1.
1
Xét với các giá trị x = -9, -8, , 0, 1.ta nhận được x(x + 1)(x + 7)(x + 8) là số chính phương chỉ với các giá trị x bằng -9, -8, -7, -4, -1, 0 và 1.
0.75
Như vậy ta nhận được tất cả các nghiệm của phương trình là:
(-9; 12), (-9; -12), (-8; 0), (-7; 0), (-4; 12), (-4; -12), (-1; 0), (0; 0), (1; 12), (1; 12).
0.5
Câu II
3đ
Từ đồng nhất thức: (1+x)2n = (1+x)n(1+x)n
Sử dụng nhị thức Niutơn ta có:
1
So sánh các hệ số của xn và sử dụng đẳng thức
Ta được: 
1
Do đó:
Đó là điều cần chứng minh.
1
Câu III
3đ
Dùng BĐT Cô-si c/m được:
Với mọi x, y, z >0:
1.25
C/m được: cosA + cosB + cosC 3/2
0.75
áp dụng 2 BĐT trên ta được điều phải c/m.
0.5
Câu 4
8đ
1)
4đ
Do E là trọng tâm tam giác ACD nên:
1.5
AB = AC ; 
Ta nhận được:
2
ở đây R = OA = OB = OC là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
0.5
2)
4đ
Kẻ 
Kẻ 
1
Đặt , AM = x, CN = y
Ta có: 
1
Do 
1
Từ (1), (2) và (3) ta có: 
Vậy 
1
Người ra đề: Nguyễn Thị Vân.