Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 vòng 1 môn: Toán

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG 1 
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (3 điểm)
Chøng minh r»ng hµm sè y = x4- 6x2 + 4x + 6 lu«n lu«n cã 3 cùc trÞ ®ång thêi gèc to¹ ®é O lµ träng t©m cña tam gi¸c t¹o bëi 3 ®Ønh lµ 3 ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè.
Câu 2: (3 điểm)
 Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (1)
Câu 3: (4 điểm) 
1. Cho hàm số 
 Tính đạo hàm của hàm số tại .
 2. Giải phương trình: 
Câu 4: (2 điểm)
Cho các số thực x , y , z thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Câu 5: (3 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M và hai đường thẳng , . Gọi A là giao điểm của và .
1. Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên , đi qua điểm M và tiếp xúc với.
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M cắt , lần lượt ở B và C sao cho 
ba điểm A, B, C tạo thành tam giác có BC 3AB.
Câu 6: (3 điểm) 
Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi K lµ trung ®iÓm cña SC. MÆt ph¼ng qua AK c¾t c¸c c¹nh SB, SD lÇn l­ît t¹i M vµ N. Gäi V1, V thø tù lµ thÓ tÝch cña khèi chãp SAMKN vµ khèi chãp SABCD. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña tû sè .
Câu 7: (2 điểm)
T×m hä nguyªn hµm cña hµm sè f(x) = 
--HẾT--
Họ và tên thí sinh:...................................................................... Số báo danh:...................... 
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG 1 
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
 (Đáp án gồm 06 trang)
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
Câu 1
TËp x¸c ®Þnh: D = R 	y = x4 - 6x2 + 4x + 6.
y’ = 4x3 - 12x + 4	y’ = 0 g(x) = x3 - 3x + 1 = 0 	(1)
Ta cã g(x), liªn tôc g(-2) = -1, g(-1) = 3, g(1) = -1 , g(2) = 3 
 g(x) liªn tôc nªn ph­¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt tháa m·n : 
 - 2 < x1 < -1 < x2 < 1 < x3 < 2
* Ta cã y = y’.x- 3.(x2 - x - 2) 	(1)
Gäi c¸c ®iÓm cùc trÞ lµ A (x1,y1), B(x2,y2), C (x3,y3) vµ G (x0,y0) lµ träng t©m tam gi¸c ABC. 
Theo §L Viet cã 	x1 + x2 + x3 = 0 	(2)
	x1x2 + x2x3 = x3x1 = -3 	(3)
Tõ (2) suy ra x0 = = 0
Tõ (1) (2) (3) suy ra:
y0 = (y1+y2+y3) = -3 [()-(x1+x2+x3) - 6]
	= -3 [(x1 + x2 + x3)2 - 2 (x1x2 + x2x3 + x3x1) - 6] = -3 (0 - 2 (-3) - 6) = 0
VËy G (0;0) º 0(0;0) (§PCM)
 3.0
Câu 2
Bµi 1.1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (1)
(1)	Û	
Û Û	
Û Û 
Û 
Û , k Î Z.
VËy ph­¬ng tr×nh că 1 hä nghiÖm lµ: , k Î Z.
3.0
Câu 3
1. Cho hàm số 
 Tính đạo hàm của hàm số tại .
2. Giải phương trình : 
4.0
Ý 1.
(2 đ)
Xét giới hạn 
0.5
0.5
0.75
Vậy 
0.25
Ý 2.
(2 đ)
ĐK: .
x = 1 không là nghiệm của phương trình
0.5
 thì PT (*)
0.5
Ta xét các hàm số sau trên 
	1) có 
0.25
	2) có 
0.25
Do đó trên miền x > 1: VT(*) là hàm số đồng biến, VP(*) là hàm số nghịch biến nên nghiệm cũng là nghiệm duy nhất của (*)
0.25
Tóm lại: PT có nghiệm duy nhất 
0.25
Câu 4
Cho các số thực x , y , z thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2.0
Áp dụng BĐT Buniacovsky ta có:
0.75
Xét hàm số:	 trên miền xác định 
0.25
0.25
0.25
Suy ra 
Với thỏa mãn thì . Vậy 
0.5
Câu 5
 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M và hai đường thẳng 
 , . Gọi A là giao điểm của và .
 1.Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng , đi qua điểm M và 
 tiếp xúc với đường thẳng .
 2.Viết phương trình đường thẳng qua M cắt , lần lượt ở B và C sao cho ba 
 điểm A , B , C tạo thành tam giác có BC 3AB.
3.0
Ý 1.
(1.5 đ)
Gọi đường tròn cần tìm là (T) có tâm I, bán kính là R. Vì
0.25
(T) qua M và tiếp xúc d2 nên ta có:
0.25
0.25
	Phương trình (T) là : 
0.25
Phương trình (T) là : 
0.25
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu đề bài với phương trình (1) và (2)	
0.25
Ý 2.
(1.5 đ)
Ta có tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 
0.25
Lấy điểm . Ta tìm trên d2 điểm F () sao cho EF = 3AE
Do . 
Khi đó	 
0.25
(Cả hai điểm F này đều thỏa mãn )
 0.25
Vì 
0.25
0.25
0.25
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài là 
 và 
0.25
Câu 6
Cho tứ diện ABCD có ABa , ACb , ADc và .
1. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo .
2. Cho thay đổi luôn thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác BCD. 	
3.0
Ý 1.
(1.5 đ)
Bµi 5: (3 ®iÓm): 
V× ABCD lµ h×nh b×nh hµnh
=> VSABC = VSADC = VSABCD = V. 
§Æt , 
th× 
=> V1 = VSAMK + VSANK = (x + y) (1)
MÆt kh¸c V1 = VSAMN + VSMNK = 
= x.y.+ x.y. 
=> V1 = (2). 
Tõ (1) (2) => x + y = 3xy => y = (3)
Do x > 0 vµ y > 0 nªn tõ (3) => x > 
Vµ y = Û 2x - 1 ³ 0 (v× 3x-1> 0) => x ³ do ®ã £ x £ 1
Tõ (1) => (x + y) = = 
XÐt hµm sè f(x) = víi . Ta cã f’(x) = 
f’(x) = 0 Û x = 0 kh«ng thuéc ®o¹n [ ] 
 x = => B¶ng biÕn thiªn
 x 1
 f’(x) - 0 +
 f(x) 3/8 3/8
Suy ra £ f(x) £ víi "x Î [] hay £ 
VËy Min () = khi x = hay SM = SB
lµ trung ®iÓm cña SB
Vµ Max () = khi 
0,5®
0,5®
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
Câu 7
1) (2 ®iÓm)
 Ta cã: v× x4 + 3x2 + 2 = (x2 + 2 ) (x2 + 1) 
§Æt Víi "x
Û 3x3 + 2x = (Ax + B) (x2 + 1) + (Cx + D) (x2 + 2) Víi "x
Hay 3x3 + 2x = (A+C)x3 + (B + D)x2 + (A + 2C)x + B + 2D Víi "x
=> A + C = 3 B = D = 0
 B + D = 0 => C = -1 tøc lµ 
 A + 2C = 2 A = 4 
 B + 2D = 0
=> f(x) = x - 
=> òf(x)dx = 
VËy ò f(x)dx = víi k lµ h»ng sè 
2.0
HƯỚNG DẪN CHUNG
+ Trên đây chỉ là các bước giải và khung điểm bắt buộc cho từng bước , yêu cầu thí sinh phải trình bầy và 
 biến đổi hợp lý mới được công nhận cho điểm .
+ Mọi cách giải khác đúng vẫn cho tối đa theo biểu điểm .
+ Chấm từng phần . Điểm toàn bài không làm tròn .