Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 6 năm học 2012 - 2013 môn: toán thời gian làm bài: 150 phút

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6
Năm học 2012 - 2013
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề này gồm có 04 câu, 01 trang)
Câu I: (6,0 điểm).
Tìm x biết:
a) 	
b) 
c) x = 
d) 
Câu II: (8,0 điểm).
1. Cho S = 21 + 22 + 23 + ... + 2100
a) Chứng minh rằng S 15
b) Tìm chữ số tận cùng của S.
c) Tính tổng S.
2. Tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên có phải là một số chính phương không? Tại sao? 
3. Chứng minh rằng: 
a) 
b) 
Câu III: (3,0 điểm).
Một ô tô đi từ A lúc 8h. Đến 9h một ô tô khác cùng đi từ A. Xe thứ nhất đến B lúc 2h chiều. Xe thứ hai đến xớm hơn xe thứ nhất nửa giờ. Hỏi xe thứ hai đuổi kịp xe thứ nhất ở cách A bao nhiêu km nếu vận tốc của nó lớn hơn vận tốc của xe thứ nhất là 20km/h.
Câu IV: (3,0 điểm).
1. Cho A = 
So sánh A với 0,01.
2. Chứng minh rằng: , với " n Î N.
---------- Hết ---------
Câu
Đáp án
Điểm
Câu I:
(6,0 điểm)
a) 1,5 điểm
x = 
x = 
x = 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
b) (1,5 điểm)
 = -12 + 17
 = 5
3x + 1 = 5 hoặc 3x + 1 = - 5
3x = 4 3x = - 6
 x = x	 = - 2
Vậy x = ; x = - 2
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
c) (1,5 điểm)
= 
= 
= 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
d) (1,5 điểm)
Vì 
= 
= 
Nên ta có 
20 - [ 2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 19
[ 2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 20 - 19
[2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 1
2,04 : (x + 1,05) = 1 . 0,12
x + 1,05 = 2,04 : 0,12
x + 1,05 = 17
x = 17 - 1,05
x = 15,95
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu II:
(8 điểm)
1. (3,0 điểm)
a) (1,25 điểm)
S = 21 + 22 + 23 + ... + 2100
Tổng trên gồm 100 số hạng được chia thành 4 nhóm, mỗi nhóm có 4 số hạng ta có: 
S = (21 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + ... + (297 + 298 + 299 + 2100)
= 2 (1 + 2 + 22 + 23) + 25 (1 + 2 + 22 + 23) + ... + 297 (1 + 2 + 22 + 23)
= 2 . 15 + 25 . 15 + ... + 297 . 15
= 15 (2 + 25 + ... + 297) 15 (ĐPCM)
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
b) (0,75 điểm)
Vì S 15 Þ S 5 (1)
Lại có tất cả các số hạng của S đều chia hết cho 2 nên S 2 (2)
Từ (1) và (2) Þ S 10 hay S có chữ số tận cùng là 0.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
c) (1,0 điểm)
2S - S = 2 (21 + 22 + 23 + ... + 2100) - (21 + 22 + 23 + ... + 2100)
 S = (22 + 23 + 24 + ... + 2101) - (21 + 22 + 23 + ... + 2100)
hay S = 2101 - 2
0,5đ
0,25đ
0,25đ
2. (2,0 điểm)
	Gọi số tự nhiên lẻ thứ n kể từ số đầu tiên là x 
Ta có:	(x - 1) : 2 + 1 = n
Þ 	(x - 1) : 2 = n - 1
Þ	x - 1 = (n - 1). 2
Þ	x - 1 = 2n - 2
Þ	x = 2n - 2 + 1
Þ	x = 2n - 1
Nên n số tự nhiên lẻ đầu tiên là 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; ... ; 2n - 1
Ta có tổng n số tự nhiên lẻ đầu tiên là:
	1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)
 = (2n - 1 + 1) . n : 2 = 2n . n : 2 = n2 là một số chính phương.
Vậy tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên là một số chính phương. 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,75đ
0,25đ
3. (3,0 điểm)
a) (1,5 điểm)
Ta có	 1 - 
	= 1 + 
	= 
	= 
	= (ĐPCM)
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b) (1,5 điểm)
Ta có:	 1 . 3 . 5 ..... 99 = 
= 
= 
= 
= (ĐPCM)
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu III:
(3 điểm)
Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường AB là :14h - 8h = 6h.
Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường AB là : (14h - 0,5h) - 9h = 4,5h = 
Một giờ xe thứ nhất đi được : (quãng đường AB).
Một giờ xe thứ hai đi được : (quãng đường AB).
Phân số chỉ 20km là : - = (quãng đường AB)
Vậy quãng đường AB dài : 20 : = 360 (km)
Vận tốc xe thứ nhất là : 360 . = 60 (km/h)
Khi hai xe cùng bắt đầu đi chúng cách nhau 60km (vì xe thứ nhất đi trước xe thứ hai 1 giờ). Do đó, chúng gặp nhau (kể từ khi xe thứ hai đi) sau: 60 : 20 = 3 (h)
Nơi gặp nhau cách A là: 60 + 60 . 2 = 240 km. 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
Câu IV:
(3 điểm)
1. (1,5 điểm)
A = 
Đặt B = 
Vì 
Nên A 0 ; B > 0
Þ A2 < A . B = 
= 
= 
Þ 	A2 < (0,01)2
Hay 	A < 0,01
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
2. (1,5 điểm)
Ta có: 1 + 2 + 3 + ... + n = 
Vì n Î N Þ n . (n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chỉ có thể có các tận cùng là: 0; 2 ; 6
Þ không bao giờ có tận cùng là 7.
Þ không bao giờ có tận cùng là 0.
Þ 10, với " n Î N (ĐPCM)
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
* Lưu ý: - Mọi cách làm khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Tùy theo bài làm của học sinh, giám khảo có thể chia nhỏ biểu điểm.
---------- Hết ----------
Người ra hướng dẫn chấm
Tổ trưởng chuyên môn
Hiệu trưởng