Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện - Môn: Toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THIỆU HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 27 tháng 11 năm 2013
Bài 1 (5 điểm).
 	Cho biểu thức P = 
 	a) Rút gọn P
 	b) Tìm x để P = 
 	c) So sánh P2 với 2P.
Bài 2 (3 điểm).
a) Giải phương trình: 
b) Tìm x, y , z thỏa mãn điều kiện:
Bài 3 (2 điểm). 
Cho và là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức . 
 	Chứng minh rằng là một số hữu tỉ. 
Bài 4 (5 điểm).
Cho đường tròn (O,R) đường kính AB. Qua điểm C thuộc đường tròn kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi I, K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến đường thẳng d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh:
a) CI = CK
b) CH2 = AI.BK
c) AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính IK.
Bài 5 (2 điểm).
Cho hai điểm A, B cố định và điểm M di động sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M của tam giác MAB. Tìm giá trị lớn nhất của tích KH.KM.
Bài 6 (3 điểm). 
a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 
b) Cho 
 Chứng minh rằng : 
Họ tên học sinh: .................................................; Số báo danh: ....................................
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THIỆU HÓA
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: Toán
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
(5 đ)
a) 
2,0 đ 
Điều kiện: x 0, x 
P = 
 = 
 = = 
= =
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b)
1,5 đ
P = 
 ( vì với x 0)
 (thỏa mãn điều kiện)
 Vậy với x = 4 thì P = 
0,5 đ
0.5 đ
0,5 đ
c)
1,5 đ
P = > 0 vì x 0
P = 2 vì 
Ta có P > 0 và P 2 nên P.(P - 2) 0 
 P2 - 2P 0 P2 2P
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 2
(3 đ)
a)
1,0 đ
(Thỏa mãn điều kiện)
Điều kiện 
Đặt = t (t0)
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
b)
2,0 đ
Điều kiện: 
Cộng từng vế ta có :
 Kết luận : vậy 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 3
(2đ)
* Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì là số hữu tỉ 
* Nếu x, y đều khác 0 
 là số hữu tỉ
Vậy và là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức . 
 thì là một số hữu tỉ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 4
(5 đ)
 a)
1,5 đ
Nối OC. Vì d là tiếp tuyến của (O) tại C nên OC vuông góc với d
Ta có: AI// BK ( vì cùng vuông góc với d) => ABKI là hình thang 
Do OA= OB =R, OC// AI // BK ( vì cùng vuông góc với d)
=> CI = CK ( T/c đường trung bình của hình thang)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b)
2,0 đ
Vì ( So le trong, AI//CO), cân)
( Cạnh huyền - góc nhọn)
=> AI = AH. Tương tự: BK = BH.
Do nội tiếp đường tròn đường kính AB nên vuông tại C.
 => CH2 = HA.HB = AI.BK ( hệ thức lượng trong tam giác vuông)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
c)
1,5 đ
Ta có:
 Mà tại H
=> AB là tiếp tuyến của Hay AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính IK.
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 5
(2 đ)
H
K
A
B
M
Ta có: ( góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Suy ra: DBKM ~ DHKA (g.g)
Þ 
Mặt khác: BK.KA . ( bất đẳng thức Cosi)
Dấu “=” xảy ra khi BK = KA
.
Vậy giá trị lớn nhất của tích KM.KH = khi BK = KA, tức K là trung điểm của cạnh AB.
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
Bài 6
(3 đ)
a)
1,5 đ
Ta có:
Vậy phương trình có 3 nghiệm là (x,y) = (0;0); (1;-1);(-1;1)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b)
1,5 đ
Vì nên 
Tương tự ta có
Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3) ta được 
Dấu “=” xẩy ra khi x = y = z =1
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Hết
M