Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2012 – 2013 môn thi: Toán – Lớp 9 THCS

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC NINH
Đề thi chính thức
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN THI: TOÁN – LỚP 9 THCS
(Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4,0 điểm)
Cho biểu thức: 
1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
Câu 2. (4,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho parabol (P) có phương trình y = x2 và đường thẳng d có phương trình y = kx+1 (k là tham số). Tìm k để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho .
2. Giải hệ phương trình: 
(Với x, y, z là các số thực dương).
Câu 3. (3,0 điểm)
1. Giải phương trình nghiệm nguyên: .
2. Cho ba số a, b, c thỏa mãn 
Chứng minh rằng: .
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MN, MP của đường tròn (O) (N, P là hai tiếp điểm).
1. Dựng điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.
2. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba điểm M, N, P luôn thuộc đường thẳng cố định khi M di động trên đường thẳng d.
Câu 5. (3,0 điểm)
1. Tìm hai số nguyên dương a và b thỏa mãn 
(với [a,b] = BCNN(a,b), (a,b) = ƯCLN(a,b)).
2. Cho tam giác ABC thay đổi có AB = 6, AC = 2BC. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.