Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 Năm học 2012 - 2013 Môn: Toán Ngày thi: 29/11/2012

 PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

Đề chớnh thức
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2012 - 2013
Mụn: Toỏn
Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 29/11/2012
Bài 1: 
Tỡm số tự nhiờn n để:
 a) A = n3 - n2 + n - 1 là số nguyờn tố.
 b) B = cú giỏ trị là một số nguyờn.
 c) D = n5 – n + 2 là số chớnh phương (n2).

Bài 2: 
Cho biểu thức: P = 
a. Rút gọn biểu thức P .
b. Tìm các giá trị của a sao cho P < 1.
c. Tính giá trị của P nếu .
Bài 3. 
	1. Giải phương trình sau:
	2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
a). 
 b). 
Bài 4 : 
Cho hỡnh vuụng ABCD, độ dài cỏc cạnh bằng a. Một điểm M chuyển động trờn cạnh DC ( M D; M C ) chọn điểm N trờn cạnh BC sao cho gúc MAN = 45O, DB cắt AM, AN theo thứ tự tại E và F.
Chứng minh rằng gúc AFM = gúc AEN = 90O.
Chứng minh rằng diện tớch của tam giỏc AEF bằng một nửa diện tớch tam giỏc AMN.
Chứng minh rằng chu vi tam giỏc CMN khụng đổi khi M chuyển động trờn DC.
Bài 5 : 
Cho a,b,c là cỏc số dương, chứng minh rằng : 
 	T = + + 
__________________________
Họ và tên thí sinh:................................................... Số báo danh :..............Phòng thi...........

Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Hội đồng chấm thi đó điều chỉnh một số nội dung và biểu điểm trong hướng dẫn này nhưng chỳng tụi chưa cập nhật được mong quý vị thụng cảm

PHềNG GD&ĐT PHÙ NINH

Hướng dẫn chấm thi CHỌN học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2012 - 2013
Mụn: Toỏn
Bài 1: (5,0 điểm) 
Tỡm số tự nhiờn n để:
 a) A = n3 - n2 + n - 1 là số nguyờn tố.
 b) B = cú giỏ trị là một số nguyờn.
 c) D = n5 – n + 2 là số chớnh phương, với n2.

a, (1điểm) A = n3 - n2 + n – 1 = (n2 + 1)(n - 1)
 Để A là số nguyờn tố thỡ n – 1 = 1n = 2 khi đú A= 5
0,5
0,5

0,5

0,5
0,5
0,5

0,5
0,5

0,5

0,5
b, (2điểm) B = n2 + 3n - 
 B cú giỏ trị nguyờn 2 n2 + 2
 n2 + 2 là ước tự nhiờn của 2
 n2 + 2 = 1 khụng cú giỏ trị thoả món
 Hoặc n2 + 2 = 2 n = 0 Với n = 0 thỡ B cú giỏ trị nguyờn.

c, (2điểm) D = n5 – n + 2 = n(n4 - 1) + 2 = n(n + 1)(n - 1)(n2 + 1) + 2
 = n(n - 1)(n + 1) +2 = n(n - 1)(n + 1)(n- 2)(n + 2) + 5 n(n - 1)(n + 1) + 2
 Mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+25 (tich 5số tự nhiờn liờn tiếp)
 Và 5 n(n-1)(n+15 Vậy D chia 5 dư 2
 Do đú số D cú tận cựng là 2 hoặc 7nờn D khụng phải số chớnh phương
 Vậy khụng cú giỏ trị nào của n để D là số chớnh phương


Bài 2: (5,5 điểm)
Cho biểu thức: P = 
a. Rút gọn biểu thức P .
b. Tìm các giá trị của a sao cho P < 1.
c. Tính giá trị của P nếu .
a, Điều kiện có nghĩa: 
 
b, P < 1 < 1 -1 < 0
 ( Vì a + 2 > 0 ) 
Kết hợp với ĐKXĐ => Với thì P < 1 ........................
c, = => 
=> Thay vào biểu thức P tính được P = 







2,0 đ



0,5đ

1,0 đ

0,5 đ


1,0 đ
Bài 3: ( 3,5 điểm )
	1. Giải phương trình sau:
	2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
a). ; b). 
1). ĐK :

0,25

0,5


0,25

2.a). ĐK : 
Bình phương hai vế ta được
y2 = (x + 2)2 + 1 
ú (y + x + 2)(y – x – 2) = 1
 Do x, y nguyên và y dương nên ta có:

0,5

0,25
0,25


0,25
0,25
2.b), Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
 
 



0,5


0,5

Bài 4 : (6 điểm)
Cho hỡnh vuụng ABCD, độ dài cỏc cạnh bằng a . Một điểm M chuyển động trờn cạnh DC ( M D ; M C ) chọn điểm N trờn cạnh BC sao cho gúc MAN = 45O, DB cắt AM, AN theo thứ tự tại E và F.
Chứng minh rằng gúc AFM = gúc AEN = 90O.
Chứng minh rằng diện tớch của tam giỏc AEF bằng một nửa diện tớch tam giỏc AMN.
Chứng minh rằng chu vi tam giỏc CMN khụng đổi khi M chuyển động trờn DC.
4a





2,0
Chứng minh : gúc AFM = gúc AEN = 90O 
Nối A với C chỉ ra được 
=> D AFB D AMC (g.g) 
=>	
Cú (2) 
Từ 1 và 2 => D AFM D ABC 
=> 
C/M hoàn toàn tương tự cú = 900 
vỡ vậy 







1,0



1,0

4b
 Chứng minh : 
 Cú D AFM D AEN => => D AEF D AMN (c.g.c) => 
Cú = 450, = 900 
=> D AFM Vuụng cõn đỉnh F nờn AM2 = AF2 + FM2 = 2AF2 
 => = Thay vào (1) ta được hay: ĐPCM)








0.5

0.5
4c
C/M chu vi D CMN khụng đổi 
 Trờn tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BN 
 D ADK = D ABN => AK = AN và 
 do đú D AMN = D AKM (c.gc) => MN=KM 
Vỡ vậy: Chu vi D CMN = MN + CN +CM = CM + KM + CN 
 = CD + KD + CN = CD + NB + CN 
 = CD + CB = 2a khụng đổi 
Tức là: Chu vi D CMN khụng thay đổi khi M chuyển động trờn cạnh DC

0.5





0.5

Bài 5 : (2 điểm) Cho a,b,c là cỏc số dương, chứng minh rằng : 
 T = + + 
Đặt x = 3a + b + c ; y = 3b + a + c ; z = 3c + b + a 
=> x + y + z = 5( a + b + c) =5(x – 2a ) = 5(y – 2b) =5(z – 2c
=> 4x –(y +z) =10a; 4y –(x +z) =10b ; 4z –(y +x) =10c ;
=> 10T = + + =
 = 12 – ( + + + + + ) 12 -6 =6 => T 
 Dấu bằng xẩy ra khi a = b = c 

0.25
0.5
0.25
0.5

0.25
0.25