Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2013 - 2014 môn: toán

PHềNG GD&ĐT THANH OAI
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2013 - 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC

Mụn: Toỏn

Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm cú: 01 trang

Cõu 1: (6 điểm)
a) Cho 
1. Rỳt gọn M
2. Tỡm giỏ trị nguyờn của x để biểu thức M nhận giỏ trị là số nguyờn 
b) Tớnh giỏ trị của biểu thức P 
 với 

Cõu 2: (4 điểm) Giải phương trỡnh
( 
|| = 

Cõu 3: (4 điểm)
a/ Cho hai số dương x, y thoả món x + y = 1.
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
b/ Cho x, y, z là cỏc số dương thoả món .
Chứng minh rằng: .

Cõu 4: (5 điểm)
Cho đường trũn (O; R) và hai đường kớnh AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường trũn (O; R) cắt cỏc đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AE và AF.
1. Chứng minh rằng trực tõm H của tam giỏc BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA.
2. Gọi α là số đo của gúc BFE. Hai đường kớnh AB và CD thoả món điều kiện gỡ thỡ biểu thức . Đạt giỏ trị nhỏ nhất? tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú.
3. Chứng minh cỏc hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 và .

Cõu 5: (1 điểm)
Tỡm nN*sao cho: n4 +n3+1 là số chớnh phương.

- Hết -
Lưu ý: Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm!

PHềNG GD&ĐT THANH OAI
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
NĂM HỌC 2013 - 2014

Mụn: Toỏn

Cõu 1: (6 điểm)

(4,5đ)
ĐKXĐ: (*) 
1)Rỳt gọn M : Với (0,5đ)
 
Vậy (với ) (*) (2,5đ)
2) (0,75đ)
Biểu thức M cú giỏ trị nguyờn khi và chỉ khi: 
Ư(3) Vỡ 
Nờn Xảy ra cỏc trường hợp sau: (0,5đ)
. (TMĐK (*) )
. (khụng TMĐK (*) loại ) (0,25đ)
Vậy x = 0 thỡ M nhận giỏ trị nguyờn. 
b_ 

Cú (0,5đ)
 (0,25đ)


 (0,75đ)
Với x = 1.Ta cú 
Vậy với x = 1 thỡ P = 2014
Cõu 2: (4 điểm)

 a. ( 
 ú (1)
 Đặt 
 (1) ú ( y + 1)(y – 1 ) – 24 = 0
 ú y2 – 25 = 0
 ú 
 ú 
 Chứng tỏ 
 Vậy nghiệm của phương trỡnh : 
 b. Ta cú 
 pt trở thành : 
 ú 

0,25 đ
 0,25 đ
 0,5 đ
 0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ


0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
Cõu 3: (4 điểm)

a
 Cho hai số dương thỏa món: x + y =1.
Tỡm GTNN của biểu thức: M = 
 M = = 
 
Ta cú: 
 * Ta cú: (1) * (2)
Từ (1) và (2) 
Vậy M = 
Dấu “=” xảy ra (Vỡ x, y > 0)
Vậy min M = tại x = y = 
2đ






0,5


0, 5






0,5


0,25



0,25





0,5

b
Cho x, y là cỏc số dương thỏa món: 
 Chứng minh rằng: 

2đ

Áp dụng BĐT (với a, b > 0)
 
Ta cú: 

Tương tự: 
 
cộng vế theo vế, ta cú: 



0.5









0,5








0,5


0,5





0,5

Caai 4: (5 điểm)





BA là đường cao của tam giỏc BPQ suy ra H thuộc BA
Nối OE, BEF vuụng tại B; BA EF nờn AB2 = AE. AF
 
VậyAEO ABQ(c.g.c). Suy ra mà (gúc cú cỏc cạnh tương ứng vuụng gúc) nờn , mà hai gúc đồng vị => PH // OE.
Trong AEO cú PE = PA (giả thiết); PH// OE suy ra H là trung điểm của OA.
2. Ta có:
 

Ta có:

Suy ra: 
Do đó: khi và chỉ khi: (vì là góc nhọn) 
 Khi đú CD vuụng gúc với AB

3. Ta cú ACB và ADB nội tiếp đường trũn (O) cú AB là đường kớnh nờn => ADBC là hỡnh chữ nhật.
Ta cú: CD2 = AB2 = AE. AF => CD4 = AB4 = AE2. AF2
= (EC.EB)(DF.BF)=(EC.DF)(EB.BF)= EC.DF.AB.EF
AB3 = CE.DF.EF. Vậy CD3 = CE.DF.EF
Ta cú: 
 






0,25


.

0,75đ.


0,75đ.

0,25đ
.

0,75đ.

0,5đ

0,25đ
0,25đ


0,25đ

0,25đ
0,25đ

0,25đ

0,25đ

Cõu 5: Giả sử n4 +n3 + 1 là số chớnh phương vỡ n4 +n3 + 1> n4 = (n2)2


Mà hoặc
Nếu 
Thử lại ( thỏa món)
Khi K
 mõu thuẫn với điều kiện (1đ) 
Vậy n = 2