Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2013 - 2014 môn: Toán học

ĐỀ CHÍNH THỨC 
PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1 (4 điểm): 
1) Phân tích thành nhân tử: .
2) Cho a, b, c, (a+b+c) là các số thực khác 0 thõa mãn các điều kiện:
 (I) 	 	
Tính giá trị biểu thức: A = .
Bài 2 (4 điểm): 
1) Rút gọn: P = 	
2) Tính: M =	
Bài 3 (4 điểm): Chứng minh rằng:
85 + 211 chia hết cho 17
1919 + 6919 chia hết cho 44
Bài 4 (4 điểm): 
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.
Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.
Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5 (4 điểm): Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF
	a) Chứng minhEDF vuông cân.
 	b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
------------------------- Hết -------------------------
Lưu ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:	.......	Số BD: .
HƯỚNG DẨN CHẤM THI HSG
MÔN TOÁN 9 (2013-2014)
Bài 1 (4 điểm) : 
1) Phân tích thành nhân tử: .
2) Cho a, b, c, (a+b+c) là các số thực khác 0 thõa mãn các điều kiện:
 (I) 	 	
Tính giá trị biểu thức: A = .
1) Phân tích thành nhân tử :
Quy đồng và phân tích được ra KQ 	1,5đ	
2) Từ (1) và câu 1) suy ra 	0,5đ	
Nếu a+b=0 a = -b c3 = 29 (vì a3+b3+c3=29) c=8 suy ra A = = 82013 	0,5đ	
Nếu b+c=0 b = -c a3 = 29 (vì a3+b3+c3=29) a=8 suy ra A = = 82013 	0,5đ	
Nếu c+a=0 c = -a b3 = 29 (vì a3+b3+c3=29) b=8 suy ra A = = 82013 	0,5đ	
	 Vậy A = 82013 	0,5đ
Bài 2 (4 điểm): 
1) P = 	1đ
 = 	1đ	
2) Đặt a = 1013 a + 1 = 1014. Ta có:
M = = 	0,5đ
= = 	0,75đ
	=	0,75đ
Vậy M = 1013+1 = 1014	
Bài 3 (4 điểm): 
(2đ) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17
Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17.
(2đ) áp dụng hằng đẳng thức:
 an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - - abn-2 + bn-1) với mọi n lẽ.
Ta có: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 ++ 6918) 
 = 88(1918 – 1917.69 + + 6918) chia hết cho 44.
Bài 4 (4 điểm): 
a) (2đ) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì )
	Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân 
	giác của . 
b) (2đ) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF
	Suy ra 3AD + 4EF = 7AD
	3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất
	 D là hình chiếu vuông góc của A lên BC. 
Bài 5 (4 điểm): 
A
B
E
I
D
C
 O
 F
2
1
1
 2
a) (2đ) Chứng minh EDF vuông cân
Ta có ADE =CDF (c.g.c)EDF cân tại D 
Mặt khác: ADE =CDF (c.g.c) 
Mà = 900 = 900 	 
 = 900. VậyEDF vuông cân	 
b) (2đ) Chứng minh O, C, I thẳng
Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực BD 
MàEDF vuông cân DI =EF
Tương tự BI =EF DI = BI 
 I thuộc dường trung trực của DB I thuộc đường thẳng CO
Hay O, C, I thẳng hàng	 
______________________________
Thí sinh giải cách khác đúng vẩn đạt điểm tối đa.