Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS môn thi: Toán

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO QUẾ VÕ
Trường THCS Nguyễn Cao
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2013-2014
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Bài 1. (3.5 điểm) 
1/ Tính : A = 
2/ Cho a, b, c thoả mãn: 
Tính giá trị biểu thức: P = 
Bài 2. (4,0 điểm) 
 1. Cho hai số thực a, b không âm thỏa mãn. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: .
 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên x, y của phương trình .
Bài 3. (4,5 điểm) 
 1. Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4p + 1 là một hợp số.
 2. Giải phương trình: 
Bài 4. (6,0 điểm) 
 Cho tam giác cân ABC (AB = AC;< 900), một đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC nằm trong tam giác ABC lấy một điểm M . Gọi I; H; K lần lượt là hình chiếu của M trên BC; CA; AB và P là giao điểm của MB với IK, Q là giao điểm của MC với IH.
a) Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK.
b) Chứng minh PQ // BC.
c) Gọi (O1) và (O2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp MPK vàMQH. Chứng minh rằng PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2 ).
d) Gọi D là trung điểm của BC; N là giao điểm thứ hai của (O1),(O2 ) Chứng minh rằng M,N,D thẳng hàng.
Bài 5 ( 2,0 điểm)
 Cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh :
 9 
----HẾT------