Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS môn Toán - Năm học 2023-2024 (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2023-2024 
Đề thi môn : TOÁN 
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm 01 trang)
 Bài 1 (5 điểm): 
 Cho biểu thức: 
1/ Rút gọn biểu thức P.
2/ Tính giá trị của biểu thức P khi. 
3/ Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
Bài 2 (4 điểm):
1/ Cho các số a, b, c bất kỳ. Chứng minh: 
	2/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 3 (4 điểm):
	1/ Giải phương trình : 
	2/ Cho abc = 1. Hãy tính giá trị của biểu thức 
Bài 4 (5 điểm):
Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF và giao điểm hai đường chéo mỗi hình vuông lần lượt là O, O’. Gọi H là giao điểm của AE và BC.
1/ Chứng minh rằng: .
 2/ Gọi I là giao của AC và BE. Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng DF và ba điểm H, D, F thẳng hàng.
 	 3/ Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB.
 Bài 5 (2 điểm):
 Cho tam giác đều ABC, điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho AM2 = BM2 + CM2 Tính số đo góc BMC ?
Hết.
( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9.Năm học 2023-2024
================
Môn: Toán

Bài 
Hướng dẫn giải
Điểm
Bài 1
(5 điểm)
1/ (2,5 điểm)
ĐK: 
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25

2/ (1,0 điểm)
Ta có: 
Thay vào biểu thức P ta được
0,5
0,5
3/ (1,5 điểm)
Ta có: 
Để P nguyên thì là ước của 2 và 
Do đó:
Mặt khác theo điều kiện x = 4 và x = 9
Vậy để P nguyên thì x = 4 hoặc x = 9

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 2
(4 điểm)
1/ (2 điểm)
 Giả sử: 
Û 4a2 + 4b2 +4c2 +4 > 4a + 4b + 4c
Û 4a2 - 4a + 1+ 4b2 - 4b +1 + 4c2 - 4c + 1 + 1 > 0
Û (2a - 1)2 +(2b - 1)2 +(2c - 1)2 + 1 > 0 luôn đúng với mọi a, b, c
Þ Bất đẳng thức cần chứng minh luôn đúng.

0,75
0,5
0,5
0,25
2/ (2 điểm)
+ Tìm GTLN: (1 điểm)
Ta có A = 
Dấu “=” xảy ra (x+1)2 = 0 x = - 1
Vậy GTLN A = 4 x = - 1
+ Tìm GTNN: (1 điểm)
Ta có A = 
Dấu “=” xảy ra (x - 1)2 = 0 x = 1
Vậy GTNN A = 2 x = 1

0,75
0,25
0,75
0,25
Bài 3
(4 điểm)
1/ (2 điểm)
ĐKXĐ: ; ; .
Phương trình ban đầu trở thành: 
So sánh với ĐKXĐ nghiệm của phương trình đã cho là . 

0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
2/ (2 điểm)
Từ giả thiết: abc = 1 
Ta có S = 
= 
 = 
= 
= 

0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
Bài 4
(5 điểm)
 Vẽ hình đúng
1/ 
 Mà 
 Vậy 
2/ Từ GT Þ . Tương tự có:
Từ đó: là hình bình hành và và nên là hình bình hành. Do đó: 
Chứng minh tương tự, ta cũng có 
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm thẳng hàng và nên là trung điểm của đoạn thẳng .
 là giao điểm của và . có là đường trung tuyến vuông tại . Do đó: 
Chứng minh tương tự ta có: 
Do đó: . Vậy ba điểm thẳng hàng.
3. Vì là trung điểm của , Kẻ là đường trung bình của hình thang (không đổi)
Do cố định nên cố định, mà không đổi nên cố định. Vậy đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định khi điểm di động trên đoạn thẳng 
0,5
1,0
 0,5
1,0
1,0
0,75
0,25
Bài 5
(2 điểm)


0,25

Vẽ tam giác đều CMN
mà vuông tại M.
0,25
0,25
0,25

Hết
( Học sinh có cách giải khác đúng cho điểm tương đương, điểm toàn bài làm tròn đến 0,25điểm)