Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm 2012 - 2013 môn thi: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2012-2013
Mụn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề
Bài 1. (4,0 điểm) 
Cho biểu thức: 
 1. Rỳt gọn biểu thức P.
 2. Tỡm cỏc giỏ trị x, y nguyờn thỏa món P = 2.
Bài 2. (4,0 điểm) 
 1. Cho hai số thực a, b khụng õm thỏa món. Chứng minh rằng phương trỡnh sau luụn cú nghiệm: .
 2. Tỡm tất cả cỏc nghiệm nguyờn x, y của phương trỡnh .
Bài 3. (4,5 điểm) 
 1. Cho p và 2p + 1 là hai số nguyờn tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4p + 1 là một hợp số.
 2. Giải phương trỡnh: 
Bài 4. (6,0 điểm) 
 Cho gúc xOy cú số đo bằng 60o. Đường trũn cú tõm K nằm trong gúc xOy tiếp xỳc với tia Ox tại M và tiếp xỳc với tia Oy tại N. Trờn tia Ox lấy điểm P thỏa món OP = 3OM. Tiếp tuyến của đường trũn (K) qua P cắt tia Oy tại Q khỏc O. Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN ở E. Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN ở F.
 1. Chứng minh tam giỏc MPE đồng dạng với tam giỏc KPQ.
 2. Chứng minh tứ giỏc PQEF nội tiếp được trong đường trũn.
 3. Gọi D là trung điểm của đoạn PQ. Chứng minh tam giỏc DEF là một tam giỏc đều.
Bài 5. (2,0 điểm) 
	Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa món:. Chứng minh rằng:
------HẾT------
Thớ sinh khụng được sử dụng mỏy tớnh cầm tay.
Họ và tờn thớ sinh: ................................................. Số bỏo danh: ............................
Chữ ký của giỏm thị 1: ............................. Chữ ký của giỏm thị 2: ...............................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2012-2013
Mụn thi: TOÁN
ĐÁP ÁN-BIỂU ĐIỂM
(Đỏp ỏn biểu điểm này gồm 3 trang)
Cõu
Nội dung
Điểm
Cõu 1.1
(2,5 đ)
Điều kiện để P xác định là : .
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Cõu 1.2
(1,5 đ)
P = 2 = 2 với 
0,5
Ta có: 1 + ị ị x = 0; 1; 2; 3 ; 4
0,5
Thay vào P ta có các cặp giá trị (4; 0) và (2 ; 2) thoả mãn
0,5
Cõu 2.1
(2,0 đ)
Cho hai số thực a, b thỏa món (1)
Chứng minh rằng phương trỡnh sau cú nghiệm: (2)
TH1 : Với a = 0 thỡ (2) 
Từ (1) . Vậy (2) luụn cú nghiệm 
0,5
TH2 : Với , ta cú : 
0,5
0,5
Vậy pt luụn cú nghiệm 
0,5
Cõu 2.2
(2,0 đ)
Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món phương trỡnh: 
Ta cú (1) 
0,5
 (2)
0,5
Từ (1) và (2) ta cú x < y < x+2 mà x, y nguyờn suy ra y = x + 1
0,5
Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trỡnh tỡm được x = -1; x = 1 từ đú tỡm được hai cặp số (x, y) thỏa món bài toỏn là (1 ; 2), (-1 ; 0)
0,5
Cõu 3.1
(2,0đ)
Do p là số nguyờn tố lớn hơn 3 nờn p cú dạng 
0,5
*) Nếu thỡ 
 là hợp số (Vụ lý)
0,5
*) Nếu thỡ 
0,5
Do nờn là một hợp số.
0,5
Cõu 3.2
(2,5 đ)
Điều kiện: 
0,5
PT 
0,5
0,5
0,5
 (tmđk)
0,5
Cõu 4
Cõu 4.1
(2,5 đ)
Hỡnh vẽ đỳng.
+PK là phõn giỏc gúc 
 (*) .
+ Tam giỏc OMN đều .
+ QK cũng là phõn giỏc 
Mà 
 . Do đú: .
Từ (*) và (**), ta cú 
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Cõu 4.2
(1,0 đ)
Do hai tam giỏc MPE và KPQ đồng dạng nờn: 
0,5
hay: Suy ra, tứ giỏc PQEF nội tiếp được trong đường trũn.
0,5
Cõu 4.3
(2,5 đ)
Gọi D là trung điểm của đoạn PQ. Chứng minh tam giỏc DEF là một tam giỏc đều.
Do hai tam giỏc MPE và KPQ đồng dạng nờn: =. Suy ra: =.
Ngoài ra: . Do đú, hai tam giỏc MPK và EPQ đồng dạng. 
0,5
Từ đú:. 
0,5
Suy ra, D là tõm của đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc PQEF.
Vỡ vậy, tam giỏc DEF cõn tại D.
0,5
Ta cú: ; .
0,5
Từ đú, tam giỏc DEF là tam giỏc đều.
0,5
Cõu 5
(2,0 đ)
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa món: . Chứng minh rằng:
Theo bất đẳng thức Cauchy ta cú: nờn:
Tương tự ta cú:
 (2)
 (3)
0,5
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:
 (*)
Mặt khỏc: 
Nờn (*) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 
0,5
0,5
---------------HẾT--------------
Lưu ý: - Cỏc cỏch giải đỳng khỏc cho điểm tương đương với biểu điểm
 - Điểm toàn bài khụng làm trũn