Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS Năm học 2007 - 2008 Môn: Toán
Bạn đang xem nội dung tài liệu Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS Năm học 2007 - 2008 Môn: Toán, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Sở giáo dục và đào tạo Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS Tỉnh ninh bình năm học 2007 - 2008 đề thi chính thức Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Câu 1 ( 4,0 điểm) Cho các số dương: a; b và x =. Xét biểu thức P = Chứng minh P xác định. Rút gọn P. Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P. Câu 2 (3,0 điểm) Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau: Câu 3 ( 4,0 điểm) Với mỗi số nguyên dương n ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a =; b =. Chứng minh rằng với n ≥ 1, ta có Sn + 2 = (a + b)( an + 1 + bn + 1) – ab(an + bn) Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn là số nguyên. Chứng minh Sn – 2 = . Tìm tất cả các số n để Sn – 2 là số chính phương. Câu 4 (7,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. Vẽ đường tròn (O1) đường kính AE và đường tròn (O2) đường kính BE. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai đường tròn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O1) và N là tiếp điểm thuộc (O2). Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đường thẳng EF vuông góc với đường thẳng AB. Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính độ dài đoạn thẳng CD. Câu 5 ( 2,0 điểm) Để lựa chọn học sinh khối lớp 9 có điểm tổng kết cao nhất các bộ môn để tham dự kiểm tra đánh giá chất lượng học kỳ I năm học 2007-2008, với tổng số 99 học sinh được các thày giáo, cô giáo lập danh sách đề nghị chọn kiểm tra đã có: 50 học sinh giỏi Toán; 45 học sinh giỏi Ngữ văn; 48 học sinh giỏi Tiếng Anh; 25 học sinh giỏi cả Toán và Ngữ văn; 22 học sinh giỏi cả Toán và Tiếng Anh; 15 học sinh giỏi cả Ngữ văn và Tiếng Anh; 6 học sinh không giỏi bất cứ môn nào trong các môn trên. Hãy tính số học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Ngữ văn và Tiếng Anh. ------------- Hết------------- Họ và tên thí sinh :.............................................. Số báo danh ....................... Chữ kí giám thị 1 …………………… Chữ kí giám thị 2 ……………………… hướng dẫn chấm thi môn toán kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2007-2008 Câu 1. (4,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm (2,75 điểm) Ta có: a; b; x > 0 a + x > 0 (1) Xét a – x = (2) Ta có a + x > a – x ≥ 0 (3) Từ (1); (2); (3) P xác định Rút gọn: Ta có: a + x = a - x = P = Nếu 0 < b < 1 P = Nếu b P = 2. (1,25 điểm) Xét 2 trường hợp: Nếu 0 < b < 1, a dương tuỳ ý thì P = P Nếu b, a dương tuỳ ý thì P = Ta có: , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1 Mặt khác: , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1 Vậy P , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1 KL: Giá trị nhỏ nhất của P = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 2 (3,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm Biến đổi tương đương hệ ta có Nhân các vế của 3 phương trình với nhau ta được: (x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2) (x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0 (x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0 x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta đều có x = y = z = 2 Vậy với x = y = z = 2 thoả mãn hệ đã cho 1,00 0,50 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 Câu 3 (4,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm (1,0 điểm) Với n ≥ 1 thì Sn + 2 = an+2 + bn+2 (1) Mặt khác: (a + b)( an + 1 +bn + 1) – ab(an +bn) = an+2 + bn+2 (2) Từ (1); (2) ta có điều phải chứng minh 2. (1,5 điểm) Ta có: S1 = 3; S2 = 7 Do a + b =3; ab =1 nên theo 1 ta có: với n ≥ 1 thì Sn+2 = 3Sn+1 - Sn Do S1, S2 Z nên S3 Z; do S2, S3 Z nên S4 Z Tiếp tục quá trình trên ta được S5; S6;...; S2008 Z 3. (1,5 điểm) Ta có Sn – 2 = = = đpcm Đặt a1 =; b1 = a1 + b1 = ; a1b1 = 1 Xét Un= Với n ≥ 1 thì Un+2 = (a1 + b1)(a1n+1 + b1n + 1) – a1b1(a1n + b1n) Un+2 = Un+1 – Un Ta có U1 = 1 Z; U2 = Z; U3 = 4 Z; U4 = 3 Z;... Tiếp tục quá trình trên ta được Un nguyên n lẻ Vậy Sn – 2 là số chính phương n = 2k+1 với k Z và 01003 0,25 0,50 0,25 0,50 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 4 (7,0 điểm) F Tóm tắt lời giải Điểm O1 O2 O E A B C M I N D S 1. (4,0 điểm) O1M; O2N MN O1M/ / O2N Do O1; E; O2 thẳng hàng nên MO1E = NO2B Các tam giác O1ME; O2NB lần lượt cân tại O1 và O2 nên ta có: MEO1=NBO2 (1) Mặt khác ta có: AME = 900 MAE + MEO1= 900 (2) MAE + NBO2 = 900 AFB = 900 Tứ giác FMEN có 3 góc vuông Tứ giác FMEN là hình chữ nhật NME = FEM (3) Do MNMO1 MNE + EMO1 = 900 (4) Do tam giác O1ME cân tại O1 MEO1 = EMO1 (5) Từ (3); (4); (5) ta có: FEM + MEO1= 900 hay FEO1 = 900 (đpcm) 2. (3,0 điểm) Ta có EB = 12 cm O1M = 3 cm < O2N = 6 cm MN cắt AB tại S với A nằm giữa S và B. Gọi I là trung điểm CD CDOI OI// O1M //O2N SO2 = 2SO1 SO1+O1O2 = 2SO1 SO1= O1O2 Do O1O2 = 3 + 6 = 9 cm SO1= O1O2 = 9 cm SO =SO1 + O1O = 15cm Mặt khác: OI = 5 cm Xét tam giác COI vuông tại I ta có: CI2 + OI2= CO2 CI2 + 25 = CO2 Ta có: CO = 9 cm CI2 + 25 = 81 CI = CD = 4 cm 0,50 0.50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,50 0,50 0,25 0,25 0,25 Câu 5 (2,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm Gọi x là số học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Ngữ văn và Tiếng Anh ( x > 0; x Z) Số học sinh chỉ giỏi một môn Toán là: 50 - 25 - (22 - x) Số học sinh chỉ giỏi một môn Ngữ văn là: 45 - 25 - (15 - x) Số học sinh chỉ giỏi một môn Tiếng Anh là: 48 - 22 - (15 - x) Do có 6 học sinh không giỏi bất kỳ môn nào trong các môn trên nên ta có: 99 - 6 = 50 - 25 - (22 - x) + 45 - 25 - (15 - x) + 48 - 22 - (15 - x) + 25 + (22 - x) + (15 - x) x = 12 Số học sinh giỏi cả 3 môn là 12 học sinh 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
File đính kèm:
- De thi chon HSG tinh NBToan9.doc