Đề thi Chọn Học Sinh Giỏi Môn thi: Toán học (Dành cho học sinh chuyên)

m
at
h.
vn
Sở Giáo Dục - Đào Tạo Vĩnh Phúc
(Dành cho học sinh chuyên)
Năm học 2010-2011
Đề thi Chọn Học Sinh Giỏi
Môn thi: Toán học
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1.
Giải hệ phương trình

x+ 3x−yx2+y2 = 3
y− x+3yx2+y2 = 0
(x,y ∈ R)
Bài 2.
Cho dãy số (un) xác định bởi

u1 = 1
un+1 = un+
1
un
∀n≥ 1
Chứng minh rằng 63< u2010 < 78.
Bài 3.
Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB,CD của tứ giác nội tiếp ABCD Đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABN cắt lại đường thẳng CD tại P và đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM
cắt lại đường thẳng AB tại Q. Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD và E là giao
điểm của các đường thẳng AD,BC. Chứng minh rằng bốn điểm P,Q,O,E thẳng hàng.
Bài 4.
Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn điều kiện x2+ y2+ z2 = 1 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= 6(y+ z− x)+27xyz.
Bài 5.
Trước một cửa soát vé vào rạp hát có một hàng gồm 2010 người. Do cửa đó bị hỏng, nên hàng
người được chuyển tới một cửa khác. Hỏi có bao nhiêu cách lập hàng mới, nếu mỗi người hoặc
giữ nguyên vị trí của mình hoặc tiến lên một (vị trí) hoặc lùi về sau một (vị trí)?
——— Hết ———