Đề thi chọn học sinh giỏi môn thi: Toán Học năm 2010 - 2011

m
at
h.
vn
Sở Giáo Dục & Đào Tạo
Điện Biên
Năm học 2010-2011
Đề thi Chọn Học Sinh Giỏi
Môn thi: Toán học
Vòng 1
Bài 1.
1) Chứng minh rằng với mọi tham số m, hàm số
y= x2+(2m+1)x2+(m2+2m−1)x−2010
luôn có cực đại và cực tiểu
2) Cho hàm số y =
2x−1
x−1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết
tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= x
Bài 2.
1) Giải bất phương trình
(x2−4x)√2x2−3x−2≥ 0
2) Giải hệ phương trình 
x+ y+
x
y
= 7
(x+ y)
x
y
= 12
Bài 3.
1) Tìm m để hàm số
y= 4sinx−3cosx−2mx+1
luôn đồng biến trên R
2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
y= 3x+
√
10− x2
Bài 4.
1) Tính giá trị biểu thức S=
A4n+1+3A
3
n
(n+1)!
, biết rằngC2n+1+2C
2
n+2+3C
3
n+3 = 141
2) Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có BC = a,CA = b,AB = c. α,β ,γ lần lượt
là các góc tạo bởi các mặt bên (SBC),(SCA),(SAB) với mặt đáy.
Biết rằng
a
sinα
=
b
sinβ
=
c
sinγ
. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm O bất
kì trên mặt đáy đến 3 mặt bên của hình chóp là một hằng số.
Bài 5.
1) Cho dãy số (xn) xác định bởi x1 =
1
2
,xn+1 = x2n+ xn, ∀n≥ 1.
Đặt Sn =
1
x1+1
+
1
x2+1
+ · · ·+ 1
xn+1
. Tính limSn
2) Cho tập hợp A gồm 16 số nguyên dương đầu tiên. Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất
có tính chất: trong mỗi tập con có k phần tử của tập hợp A đều tồn tại 2 số phân biệt a,b sao
cho a2+b2 là một số nguyên tố.
——— Hết ———