Đề thi chọn học sinh giỏi môn thi: Toán học (vòng 1)

ht
tp
:/
/m
at
h.
vn
Sở Giáo Dục - Đào Tạo Bến Tre
Ngày thi
Đề thi Chọn Học Sinh Giỏi
Môn thi: Toán học
Vòng 1
Bài 1.
Chứng minh rằng các đồ thi hàm số y= x2−1 và y= 2x+1
x
có ba điểm chung phân biệt.
Xác định toạ độ tâm đường tròn đi qua ba điểm chung trên.
Bài 2.
Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E) có phương trình
x2
9
+
y2
4
= 1 và đường tròn (C) có phương
trình x2+ y2 = 16. Từ điểm M trên (C) ta kẻ hai tiếp tuyến đến (E) là MT1 và MT2 với hai tiếp
điểm là T1,T2.
1) Khi M có hoành độ xM =−4, hãy viết phương trình các đường thẳng MT1,MT2,T1T2.
2) Khi M thay đổi trên (C), tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ M đến đường thẳng T1T2.
Bài 3.
1) Giải phương trình
√
x+1√
x+1−√3− x = x−
1
2
2) Giải hệ phương trình
x2+
√
x= 2y
y2+
√
y= 2x
Bài 4.
Cho dãy số {xn}∞n=1 thoả mãn x1 = 1,xn+1 =
√
x2n+ xn+1−
√
x2n− xn+1 với mọi n nguyên
dương.
1) Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn.
2) Tìm giới hạn của dãy số đó.
Bài 5.
1) Cho f : [a;b]→ [a;b] là hàm số liên tục.
Chứng minh rằng phương trình f (x) = x có nghiệm thuộc [a;b]
2) Cho g : [−1;1]→ R là hàm số liên tục.
Chứng minh rằng phương trình xg2(x)−2g(x)+ x= 0 có nghiệm thuộc [−1;1]
———Hết ———