Đề thi chọn học sinh giỏi môn thi: Toán học (Vòng 1) - Tỉnh Lâm Đồng

m
at
h.
vn
Sở Giáo Dục & Đào Tạo Lâm Đồng
Năm học 2010 - 2011
Đề thi Chọn Học Sinh Giỏi
Môn thi: Toán học
Vòng 1
Bài 1.
Giải hệ phương trình:

4x2+ y4−4xy3 = 0
4x2+2y2−4xy= 1
Bài 2.
Cho dãy số (un) xác định như sau: u1 = 2 và un+1 =
u2n
2011
+
2010
2011
un với n= 1,2,3, ...
1. Chứng minh (un) là dãy số tăng và không bị chặn trên.
2. Tính lim
n→+∞
n
∑
i=1
ui
ui+1−1 .
Bài 3.
1. Từ đỉnh A của hình vuông ABCD, ta vẽ hai tia Ax, Ay đi qua miền trong của hình vuông
đó. GọiM, K lần lượt là hình chiếu của các điểm D, B lên Ax; gọi N, L lần lượt là hình
chiếu của các điểmD, B lên Ay. Chứng minh rằng các đường thẳng KL, MN vuông góc
với nhau.
2. Cho tam giác ABC nhọn, với BC = a,CA= b, AB= c. Hãy tìm điểm M bên trong tam
giác ABC sao cho a.MA+b.MB+ c.MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4.
Cho x,y,z là các số nguyên. Chứng minh rằng x+ y+ z chia hết cho 30 khi và chỉ khi
x5+ y5+ z5 chia hết cho 30.
Bài 5.
Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số thỏa mãn đồng thời
các điều kiện sau:
1. Trong mỗi số tự nhiên, mỗi chữ số có mặt đúng hai lần.
2. Trong mỗi số tự nhiên, hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau.
——— Hết ———