Đề thi chọn học sinh giỏi môn thi: Toán học (vòng 1) - Tỉnh Phú Thọ

m
at
h.
vn
Sở Giáo Dục & Đào Tạo PHÚ THỌ
Năm học 2010-2011
Ngày thi 5/11/2010
Đề thi Chọn Học Sinh Giỏi
Môn thi: Toán học
Vòng 1
Bài 1.
Giải phương trình:
2+
√
2√
tanx+ cot2x
=
√
2+2sin2x
Bài 2.
Giải hệ phương trình sau trên R:
x2 +1+ y2 + xy= 4y
x+ y−2 = y
x2 +1
Bài 3.
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:
2(x+ y)+ xy= x2 + y2.
Bài 4.
Cho dãy số Vn = nn+1˘(n+1)n ∀n≥ 3.
1) Chứng minh rằng dãy (Vn) là dãy tăng ∀n≥ 3.
2) Tìm α lớn nhất sao cho nn+1 ≥ (n+1)n+α ∀n≥ 3.
Bài 5.
Cho tam giác ABC thỏa mãn a2 = 4ScotA, trong đó BC = a và S là diện tích của tam giác.
Gọi O và G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trong tâm của tam giác ABC. Chứng
minh rằng hai đường thẳng AG và OG vuông góc với nhau.
Bài 6.
Điền số 896 số 1 và -1 vào bảng ô vuông kích thước 14×64 (14 hàng và 64 cột). Biết rằng
với hai cột bất kỳ , số lần xuất hiện hai số cùng dấu ở trên cùng một hàng không vượt quá 7.
Chứng minh rằng số các số 1 trong 896 số đã cho không lớn hơn 511.
——— Hết ———