Đề thi chọn học sinh giỏi môn thi: Toán học (vòng 2)

m
at
h.
vn
Sở Giáo Dục & Đào Tạo Thái Bình
Năm học 2010-2011
Đề thi Chọn Học Sinh Giỏi
Môn thi: Toán học
Vòng 2
Bài 1.
Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn:
0< z≤ y≤ x≤ 8 3y+4y≥max
(
xy,
1
2
xyz−8z
)
Tìm GTLN của biểu thức M = x2(x3+1)+ y2(y3+1)+ z2(z3+1)
Bài 2.
Cho Fn xác định bởi F1 = 1,F2 = 1,Fn+2 = Fn+1 +Fn với mọi n ≥ 1. Với mỗi n nguyên
dương, hãy tìm số dư của phép chia Fn+90+Fn cho 10.
Bài 3.
Gọi B là điểm thuộc đường tròn (C1) và A là điểm khác B nằm trên tiếp tuyến của (C1) tại
B. Gọi C là điểm không thuộc (C1) sao cho đường thẳng AC cắt (C1) tại 2 điểm phân biệt.
Đường tròn (C2) tiếp xúc với đường AC tại C và (C1) tại D nằm khác phía B bờ AC. CMR
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 4.
Cho a,b,c,d,e, f là các số nguyên dương. Đặt S= a+b+c+d+e+ f ,Q= ab+bc+ca−
de− e f − f d,R = abc+ de f . Biết rằng S chia hết Q và S chia hết R. Hỏi rằng S là hợp số
hay số nguyên tố.
Bài 5.
Một tập X được gọi là có tính chất T nếu ta có thể chia X thành 2 tập con rời nhau, khác rỗng
sao cho tổng tất cả các phần tử ở 2 tập con đó bằng nhau.
Tìm tất cả các số nguyên duơng n để tập S= {2010,2010+1,2010+2, ...,2010+n} có tính
chất T .
——— Hết ———