Đề thi chọn học sinh giỏi môn thi: Toán học (vòng I) - Năm học 2010 - 2011

m
at
h.
vn
Sở Giáo Dục & Đào Tạo
Bà Rịa - Vũng Tàu
Năm học 2010-2011
Đề thi Chọn Học Sinh Giỏi
Môn thi: Toán học
Vòng I
Bài 1.
Cho hàm số y=
x2+mx+m
x2+1
. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành
tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
Bài 2.
1) Giải hệ phương trình:

√
2x+
√
2y= 4
√
2x+5+
√
2y+2= 6
2) Tìm GTLN và GTNN của hàm số y= tan2 x+16cosx trên[−pi
4
;
pi
3
].
Bài 3.
1) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, các mặt bên có góc ở đỉnh S có số đo là α
(0< α <
pi
2
). Chứng minh điều kiện cần và đủ để tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cách
đều các mặt phẳng làn lượt chứa các mặt của hình chó là α =
pi
4
.
2) Cho H là trực tâm của tam giác ABC không cân và góc A nhọn, hình chiếu của H trên
AB,AC theo thứ tự là E,F. Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng BC;P,Q là giao điểm của
các đường tròn đường kính AD, đường kính BC. Chứng minh H,P,Q thẳng hàng và và các
đường thẳng BC,EF,PQ đồng qui.
Bài 4.
Cho hàm số f : R→ Rthỏa mãn f (x+1) = f (x)+2 và f 2 (x) = 2 f (x2);∀x ∈ R
Chứng minh:
1) ∀x ∈ R;∀m ∈ Z : f (x+m) = f (x)+2m.
2) ∀q ∈Q : f (q) = 2q
Bài 5.
Gọi T là phép biến đổi trên dãy số như sau: chọn 19 số hạng của dãy số và mỗi số hạng
này được cộng thêm 1, các số hạng còn lại của dãy số giữ nguyên.
Cho dãy số gồm 2010 số nguyêna1;a2; ...;a2010
Chứng minh rằng : Từ dãy số đã cho, sau một số hữu hạn phép biến đổi T, ta có thể được
dãy gồm 2010 số bằng nhau.
——— Hết ———