Đề thi chọn học sinh giỏi môn thi: Toán học (vòng II)

m
at
h.
vn
Sở Giáo Dục & Đào Tạo Bình Định
Năm học 2010-2011
Đề thi Chọn Học Sinh Giỏi
Môn thi: Toán học
Vòng II
Bài 1. (5 điểm)
1) Giải hệ bất phương trình: 
x6+ y8+ z10 ≤ 1
x2007+ y2009+ z2011 ≥ 1
.
2) Cho a; b; c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
a3
bc
+
b3
ca
+
c3
ab
≥ a+b+ c.
Bài 2. (4 điểm)
Cho các dãy số {xn}∞n=1; {yn}∞n=1; {zn}∞n=1 được xác định như sau:
x1 = a; y1 = b; z1 = c; xn =
yn−1+ zn−1
2
,yn =
zn−1+ xn−1
2
,zn =
xn−1+ yn−1
2
Chứng minh rằng các dãy trên hội tụ và limxn = limyn = limzn =
a+b+ c
3
.
Bài 3. (3 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì [(2+
√
3)n] là số lẻ.
Bài 4. (5 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong trường tròn (O). Gọi P là giao điểm hai đường chéo AC và
BD. Gọi I; J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác PAB và PCD. Chứng minh rằng
các đường thẳng qua các điểm P, I, J theo thứ tự vuông góc với BC,CA, BD đồng quy.
Bài 5. (3 điểm)
Cho tập hợp A gồm n phần tử, n> 4. Tìm n biết rằng trong số các tập con của A có đúng 16n
tập con có số phần tử là lẻ.
——— Hết ———