Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 - Đề 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
NĂM HỌC 2013-2014
Môn thi: Toán
(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1(4đ): cho n số : Chứng minh rằng:
Bài 2(4đ): Giải phương trình: 
Bài 3(4đ): Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là 
Bài 4(4đ): Cho hình vuông ABCD, H là trung điểm của AB, K là trung điểm của AD. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) lấy điểm S khác H. Chứng minh rằng:
	a) .
	b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH).
Bài 5(4đ): 
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và . Chứng minh A’B’CD là hình vuông.
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
(4đ)
Xét tam thức
Ta có 
Mặt khác nên
Mà 
Do đó phương trình f(x)=0 có nghiệm trên vậy
0,5
0,5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 2
(4đ)
Ta nhận thấy 
Vậy pt(2) vô nghiệm
Phương trình có nghiệm là: 
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
1
1
1
1
Bài 3
(4đ)
số hạng liên tiếp là ta có 
Do đặt khi đó đế n là số nguyên dương bé nhất thì t cũng phải là số nguyên dương bé nhất vì nên (vì t là số nguyên dương bé nhất) vậy 
Bài 4:
(4đ)
Cm: 
Vì H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD nên HK là đường trung bình của tam giác ABD nên HK//BD mà 
Mặt khác từ (1);(2) ta có 
Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH)
 Ta có mà hay (1)mặt khác 
từ (1); (2) ta có hay góc giữa CK và mặt phẳng (SDH) bằng 900
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 5:
 (4đ)
Theo giả thiết ta có tứ giác A’B’CD là hình thoi 
Hay A’B’CD là hình vuông
1
1
1
1
Lưu ý: Học sinh có cách làm khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa câu đó.