Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 - Đề 10

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11
Môn thi: Toán
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu I. Giải phương trình: (1)
Câu II. Cho dãy {un} xác định bởi: 
Thành lập dãy: {Sn} xác định bởi: . Tìm 
Câu III. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Câu IV. 
 1)Cho hình chop đáy là hình thang, đáy lớn AB. Trên SA, BD lấy hai điểm M, N sao cho ,. Qua N kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại H, K.
	a) Chứng minh rằng: 
	 b) Gọi O là giao điểm của SB với . Chứng minh: 
2) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt . Tìm để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.
Câu V.
1)Nếu một số được chọn ngẫu nhiên từ một tập hợp gồm 5 chữ số trong đó tổng các chữ số bằng 43. Tính xác xuất để số được chọn chia hết cho 11.
2) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phần nguyên của là một số nguyên tố.
HƯỚNG DẪN
Câu I. Giải phương trình: (1)
	(1)	
Câu II. Cho dãy {un} xác định bởi: 
Thành lập dãy: {Sn} xác định bởi: . Tìm 
Giải:
Tacó:
 Suy ra un là dãy tăng
 Giả sử un bị chặn trên lúc đó tồn tại số L sao cho . Từ (*) ta có :
	 (vô lý)
 Þ un không bị chặn trên. Suy ra 
Mặt khác : 
Tương tự 
Cộng vế theo vế ta được : 
 Þ 
Câu III. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
HD:
Áp dụng BĐT cauchy ta có: 
Câu IV. 
 1)Cho hình chop đáy là hình thang, đáy lớn AB. Trên SA, BD lấy hai điểm M, N sao cho ,. Qua N kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại H, K.
	a) Chứng minh rằng: 
	 b) Gọi O là giao điểm của SB với . Chứng minh: 
a) Chứng minh: 
Chỉ ra được Suy ra 
b) Chứng minh: 
Chỉ ra được: 
2) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt . Tìm để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.
Kẻ DH MN , do (DMN)(ABC) suy ra DH(ABC).
Mà ABCD là tứ diện đều, nên suy ra H là tâm của tam giác đều ABC.
Ta có: SAMN =.AM.AN.sin600 =; SAMN = SAMH + SANH 
= .AM.AH.sin300+.AN.AH.sin300 = (x+y). 
Suy ra =(x+y) x+y= 3xy (0x,y1 ). 
Diện tích toàn phần của tứ diện DAMN:	
S = SAMD + SAND + SDMN + SAMN = AD.AM.sin600+AD.AN.sin600 
+ DH.MN +AM.AN.sin600. = xy +.
Từ 
Suy ra khi 
Câu V.
1)Nếu một số được chọn ngẫu nhiên từ một tập hợp gồm 5 chữ số trong đó tổng các chữ số bằng 43. Tính xác xuất để số được chọn chia hết cho 11.
Trong cơ số 10, chữ số lớn nhất là 9 nên tổng d1 + d2 + d3 + d4 + d5 của 5 chữ số lớn nhất bằng 45. Nhưng theo giả thiết, tổng của các chữ số trong số được chọn là 43 = 45 – 2 nên có thể xảy ra các trường hợp sau:
Một chữ số là 7, tất cả các chữ số còn lại đều bằng 9 là 79999 ; 97999 ; 99799 ; 99997 : có 5 số như vậy.
- Hai chữ số đều là 8, ba chữ số còn lại đều là 9. có tất cả số như vậy. Chẳng hạn: 88999 ; 89899 ; . . . ; 99988
Vậy tất cả có 15 số trong đó mỗi số có 5 chữ số có tổng bằng 43.
để số được chọn chia hết cho 11 thì cần và đủ là:
 d1 - d2 + d3 - d4 + d5 chia hết cho 11
Chỉ có 3 số trong 15 số nói trên thoả mãn điều kiện đó:
97999 ; 99979 và 98989. Nên xác xuất cần tìm là 
2) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phần nguyên của là một số nguyên tố.
Gọi S là tập hợp các số nguyên tố
Trường hợp 1: 
Trường hợp 2:
Trường hợp 3: 
Kết luận: